Результаты мониторинга уровня математических знаний учащихся: 7-9 классы

Среди заданий математической олимпиады Кенгуру 2009 года, семь были выбраны для поведения мониторинга уровня знаний учащихся 7, 8 и 9 классов, выступавших в уровне «Кадет».

Условия задач:
Задача 8. Три точки Q, S и R лежат на одной прямой. Точка P расположена так, что угол QPS равен 12^o и PQ=PS=RS. Найдите угол QPR.
А:24^o; Б:42^o; В:48^o; Г:54^o; Д: 96^o;

Задача 10. На листе написаны числа 2, 6, 8, 10 и некоторое пятое число. Известно, что если все эти числа чётные, то среди них есть хотя бы один полный квадрат. Тогда пятое число не может равняться:
А:3; Б:4; В:9; Г:12; Д: 2009;

Задача 16. У скольких натуральных чисел количества цифр в десятичной записи их квадрата и куба совпадают?
А:0; Б:3; В:4; Г:9; Д: бесконечно много;

Задача 18. В стране рыцарей и лжецов 25 человек встали в очередь один за другим. Каждый, кроме первого из очереди сказал, что человек, стоящий сразу перед ним, врёт. Первый же сказал, что все, стоящие за ним – врут. Сколько лжецов в колонне? (Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда врут)
А:0; Б:12; В:13; Г:24; Д: невозможно определить;

Задача 19. Дроби  и  отмечены на числовой оси. Где находится ?
__|__|__|__|__|__a__b__c__d__e__|__|__|__|__|__
А:a; Б:b; В:c; Г:d; Д: e;

Задача 20. Велосипедист должен был прибыть в пункт назначения в 12:00. Если его скорость будет равняться 15 км/ч, то он прибудет в 11:00, а если его скорость будет равна 10 км/ч, то он прибудет в конечный пункт в 13:00. При какой скорости велосипедист прибудет в конечный пункт в назначенное время?
А:11 км/ч; Б:12 км/ч; В:12,5 км/ч; Г:13 км/ч; Д: 14 км/ч;

Задача 26. Во дворце между каждыми двумя залами и из каждого зала наружу есть не больше одной двери. Какое наименьшее возможное количество залов во дворце, если в нём всего 12 дверей?
А:4; Б:5; В:6; Г:7; Д: 8;

Решения задач и распределение ответов участников
Решение задачи 8. Изобразим данные точки и линии. В равнобедренном треугольнике PQS углы у основания будут по 84 градуса. Тогда угол при вершине равнобедренного треугольника PSR будет равен 96 градусов. Следовательно, углы у основания его будут по 42 градуса и искомый угол QPR равен 12^o +42^o =54^o

Ответ Г:54^o;

Вот как распределились ответы участников олимпиады:

Как видно, хотя правильных ответов было дано больше всего, ощутимая доля учеников остановилась, получив результат 42^o, забыла сложить его с начальными двенадцатью градусами.

Решение задачи 10.
Высказывание «Если А, то Б» будет ложным только в том случае, когда А истинно, а Б – ложно, и будет истинным во всех остальных случаях. Истинным условие «Все числа чётные» будет, если пятым числом окажется 4 или 12. А следствие «Среди чисел есть хотя бы один полный квадрат» будет ложным, если пятое число будет равно 12.
Ответ Г:12;

На олимпиаде Кенгуру 2009 было такое распределение ответов на задачу 10:

Много участников выбирали ответы, при которых условие ложно или при которых и условие и следствие истинны. Разброс в ответах свидетельствует о слабости умений работы с логическими выражениями.

Решение задачи 16.
Числа 1 и 2 удовлетворяют условию: их квадраты и кубы однозначны. У тройки квадрат однозначный, а куб – двузначный, она не подходит. Далее, можно назвать четвёрку с двузначными квадратом и кубом. Для остальных чисел, меньших 10, квадраты будут двузначными, а кубы – трёхзначными. Число 10 также не подходит.

А для x>10, куб числа, x³=x*x² > 10x², будет более чем в 10 раз превосходить его квадрат, значит, будет длиннее как минимум на одну цифру.

Следовательно, натуральных чисел с одинаковым количеством цифр в кубе и квадрате всего три.
Ответ Б:3

Среди данных ответов интересна высокая доля ответов «Д: бесконечно много». Почему – непонятно. Быть может, у вас будут какие-то версии?

Решение задачи 18.
Допустим, первый сказал правду. Но тогда те люди из очереди, которые назвали стоящих впереди себя лжецами, тоже сказали правду, являясь одновременно лжецами, что невозможно. Следовательно, первый соврал. Тогда второй сказал правду, третий соврал, четвёртый сказал правду и т.д. Солгали все люди с нечётными номерами, значит, лжецов было 13.
Ответ В:13;

Судя по ответам, больше всего учеников сочли фразу первого в очереди правдой, но не проверили истинность выводов, следующих из неё. Опять-таки, это пробелы в изучении математической логики.

Решение задачи 19.
Длина отрезка между дробями  и  равна . Он разбит на 16 частей, длина каждой . Между дробями  и  расстояние равно . Значит дробь  находится под отметкой a
Ответ А:a;

Подавляющее большинство детей поместило  ровно посередине между  и . Да, на свойства чисел по другую сторону единицы в школе стоит уделять побольше внимания…

Решение задачи 20.
Решим эту задачу на движение алгебраически. Пусть велосипедист должен проехать s километров. Тогда, двигаясь со скоростью 15 км/ч, он затратит  часов, а при скорости 10 км/ч - . По условию, во втором случае он будет ехать на 2 часа дольше. Значит , откуда s=60 (км), а в первом случае на дорогу он потратил бы 4 часа. Чтобы затратить 5 часов на дорогу, он должен двигаться со скоростью 12 км/ч
Ответ Б:12 км/ч;

Как и следовало ожидать, судя по распределению ответов на предыдущую задачу, большинство участников олимпиады Кенгуру-2009 попросту усредняли скорости, получая 12,5 км/ч.

Решение задачи 26.
Если во дворце n комнат, то дверей в нём – не больше . Значит, во дворце с пятью залами теоретически  возможны даже 15 дверей. Однако 15 дверей мы не получим из-за невозможности сделать каждый зал смежным со всеми остальными (сразу вспоминается «Остров пяти красок» Гарднера), а вот 12 дверей – вполне:

Ответ Б:5;

Как видно из диаграммы распределения ответов участников олимпиады Кенгуру-2009, построение такой конструкции из пяти залов вызвало большие трудности, и был сделан выбор в пользу шести залов. Также, почему-то многие остановились на четырёх залах во дворце, выбрав наименьший вариант из предложенных, проигнорировав условие про количество дверей.

Таким образом, результаты мониторинга среди 7-9 классов, проводимого на математической олимпиаде Кенгуру-2009, показывают, что при подготовке к олимпиаде Кенгуру-2010 необходимо обратить внимание на следующие вопросы:

• Навыки работы с условием задачи;
• Определение истинности логических выражений;
• Действия с простыми дробями;
• Решение задач на движение;
• Построение нестандартных конструкций.

Эти темы рассматриваются у нас на сайте в разделах Задачи математической олимпиады Кенгуру, Занимательная математика и Задачи олимпиад по математике. Надеемся, они, как и данный обзор, окажутся вам полезными.

<Мониторинг уровня Школьник|К задачам>