Задачи III этапа Всеукраинской олимпиады по математике за 2009 год. 8 класс

главная страница сайта Приглашение в мир математики

1. Найти наибольшее трехзначное число, которое удовлетворяет таким трём условиям:
1) само число простое;
2) число, которое записано теми же самыми цифрами в обратном порядке также простое;
3) произведение цифр числа также является простым числом.

2. Целые числа удовлетворяют условие: . Доказать, что число является полным квадратом некоторого целого числа.

3. Все числа от 1 до 2009 возвели в квадрат, после этого полученные числа в произвольном порядке записали в виде одного числа. Может ли полученное число быть квадратом целого числа?

4. На бумаге в клеточку выделен квадрат 7x7. Два игрока по очереди закрашивают в желтый цвет единичные отрезки, которые являются границами единичных квадратов, расположенных внутри или на границе выделенного квадрата, и еще не были закрашены. Побеждает тот игрок, после хода которого впервые появляется единичная клетка, у которой все четыре стороны окрашены в желтый цвет. Кто побеждает в этой игре при правильной игре обоих – тот, кто начинает или тот, кто ходит вторым?

5. Задан треугольник и точка , которая не лежит ни на одной из прямых, содержащих стороны треугольника. Пусть – прямая, которая проходит через точку перпендикулярно прямой , . Пусть – точка пересечения прямых , – точка пересечения прямых , а точка – пересечения прямых , точки – это точки пересечения высот треугольников , , соответственно. Доказать, что треугольники и равны.