Всеукраинская олимпиада по математике, III этап 2010 год

Задача 1. Найдите все натуральные n, удовлетворяющие равенство:

Задача 2. В кубе размером 11х11х11 внешний слой единичных кубиков покрасили в жёлтый цвіт, следующий слой, касающийся внешнего, раскрасили в синий цвет, следующий – опять в жёлтый и т.д. Найдите количество жёлтых и синих единичных кубиков.

Задача 3. В четырёхугольнике ABCD вписанном в окружность, диагонали перпендикулярны. Точки K,L,M,Q – точки пересечения высот треугольников AND, ACD, BCD, ABC соответственно. Доказать, что четырёхугольник KLMQ равен четырёхугольнику ABCD. (Автор: Рожкова Мария)

Задача 4. Докажите, что для каждого натурального n уравнение a^n+2010b^n=c^n+1 имеет бесконечное множество решений в натуральных числах.

Задача 5. Найдите неотрицательные решения системы:

<Задачи для 10 класса