Как вспомнить забытую тригонометрическую формулу? Вывести!

На олимпиаде по математике с большой степенью вероятности, а на внешнем независимом тестировании – уж наверняка встретятся задания по тригонометрии. Тригонометрию часто не любят за необходимость зубрить огромное количество трудных формул, кишащих синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами. На сайте уже когда-то давались советы, как вспомнить забытую формулу, на примере формул Эйлера и Пиля.

А в этой статье мы постараемся показать, что достаточно твёрдо знать всего пять простейших тригонометрических формул, а об остальных иметь общее представление и выводить их по ходу дела. Это как с ДНК: в молекуле не хранятся полные чертежи готового живого существа. Там содержатся, скорее, инструкции по его сборке из имеющихся аминокислот. Так и в тригонометрии, зная некоторые общие принципы, мы получим все необходимые формулы из небольшого набора тех, которые нужно обязательно держать в голове.

Будем опираться на следующие формулы:

1. Основное тригонометрическое тождество: sin²a+cos²a = 1
2. Определение тангенса:
3. Определение котангенса:
4. Формула синуса суммы: sin(a+b) = sinacosb+cosasinb
5. Формула косинуса суммы: cos(a+b) = cosacosb-sinasinb

Из формул синуса и косинуса сумм, зная о чётности функции косинуса и о нечётности функции синуса, подставив -b вместо b, получаем формулы для разностей:

6. Синус разности: sin(a-b) = sinacos(-b)+cosasin(-b) = sinacosb-cosasinb
7. Косинус разности: cos(a-b) = cosacos(-b)-sinasin(-b) = cosacosb+sinasinb

Поставляя в эти же формулы a = b, получаем формулы синуса и косинуса двойных углов:

8. Синус двойного угла: sin2a = sin(a+a) = sinacosa+cosasina = 2sinacosa
9. Косинус двойного угла: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-sinasina = cos²a-sin²a

Аналогично получаются и формулы других кратных углов:

10. Синус тройного угла: sin3a = sin(2a+a) = sin2acosa+cos2asina = (2sinacosa)cosa+(cos²a-sin²a)sina = 2sinacos²a+sinacos²a-sin³a = 3sinacos²a-sin³a = 3sina(1-sin²a)-sin³a = 3sina-4sin³a
11. Косинус тройного угла: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-sin2asina = (cos²a-sin²a)cosa-(2sinacosa)sina = cos³a-sin²acosa-2sin²acosa = cos³a-3sin²acosa = cos³a-3(1-cos²a)cosa = 4cos³a-3cosa

Прежде чем двигаться дальше, рассмотрим одну задачу.
Дано: угол - острый.
Найти его косинус, если
Решение, данное одним учеником:
Т.к. , то sina = 3,а cosa = 4.
(Из математического юмора)

Итак, определение тангенса связывает эту функцию и с синусом, и с косинусом. Но можно получить формулу, дающую связь тангенса только с косинусом. Для её вывода возьмём основное тригонометрическое тождество: sin²a+cos²a = 1 и разделим его на cos²a. Получим:

12. Связь тангенса и косинуса:

Так что решением этой задачи будет:

(Т.к. угол острый, при извлечении корня берётся знак +)

13. Аналогично получаем связь котангенса и синуса:

Формула тангенса суммы – ещё одна, тяжело поддающаяся запоминанию. Выведем её так:

14. Формула тангенса суммы: . Разделив числитель и знаменатель на произведение косинусов, получим:

Сразу выводится и

15. Формула тангенса двойного угла:

Из формулы косинуса двойного угла можно получить формулы синуса и косинуса для половинного. Для этого к левой части формулы косинуса двойного угла:
cos2a = cos²a-sin²a
прибавляем единицу, а к правой – тригонометрическую единицу, т.е. сумму квадратов синуса и косинуса.
cos2a+1 = cos²a-sin²a+cos²a+sin²a
2cos²a = cos2a+1
Выражая cosa через cos2a и выполняя замену переменных, получаем:

16. Косинус половинного угла:

Знак берётся в зависимости от квадранта.

Аналогично, отняв от левой части равенства единицу, а от правой - сумму квадратов синуса и косинуса, получим:
cos2a-1 = cos²a-sin²a-cos²a-sin²a
2sin²a = 1-cos2a

17. Cинус половинного угла:

И, наконец, чтобы преобразовать сумму тригонометрических функций в произведение, используем следующий приём. Допустим, нам нужно представить в виде произведения сумму синусов sina+sinb. Введём переменные x и y такие, что a = x+y, b+x-y. Тогда
sina+sinb = sin(x+y)+sin(x-y) = sinxcosy+cosxsiny+sinxcosy-cosxsiny = 2sinxcosy. Выразим теперь x и y через a и b.

Поскольку a = x+y, b = x-y, то . Поэтому

18. Представление суммы синусов в виде произведения:

Сразу же можно вывести

19. Формулу для разбиения произведения синуса и косинуса в сумму: sinacosb = 0.5(sin(a+b)+sin(a-b))

Рекомендуем потренироваться и вывести самостоятельно формулы для преобразования в произведение разности синусов и суммы и разности косинусов, а также для разбиения в сумму произведений синусов и косинусов. Проделав эти упражнения, вы досконально освоите мастерство вывода тригонометрических формул и не потеряетесь даже на самой сложной контрольной, олимпиаде или тестировании.