Магические квадраты

Тема математических квадратов – один из традиционных разделов занимательной математики, представляющий любознательному читателю как красивые конструкции, так и серьёзные нерешенные проблемы.

Начнём с классической задачи построения минимального магического квадрата.

Задача
Расставьте числа от 1 до 9 в клетки квадрата 3х3 так, чтобы суммы троек чисел во всех вертикалях, горизонталях и диагоналях были равны.

Допустим, мы расставили девять чисел согласно требуемым условиям:

a	b	c
d	e	f
g	h	i

Тогда должны быть равны суммы a+b+c = d+e+f = g+h+i = a+d+g = b+e+h = c+f+i = a+e+i = c+e+g = S. Число S называется константой магического квадрата. Чтобы найти её, заметим, что 3S= a+b+c + d+e+f + g+h+i = 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Отсюда S=15.

Найдём теперь центральный элемент, e. Для этого рассмотрим четыре суммы: центральные вертикаль и горизонталь и обе диагонали. 4S = a+e+i + b+e+h + c+e+g + d+e+f = 3S+3e. Отсюда e=S/3=5.

Прежде чем сокращать количество неизвестных, сделаем ещё одно наблюдение. Сложим горизонталь, вертикаль и диагональ, выходящие из одного угла.
3S = a+b+c + a+e+i + a+d+g = a+b+c + d+e+f + g+h+i + = 3S + 2c-d-h

Значит сумма d+h – чётное число. Выходит, что все числа, стоящие в углу – одной чётности и отличной от всех чисел, стоящих на сторонах. Т.к. в сумме по горизонтали стоят два угловых числа и одно боковое, а сама сумма равна нечётному числу, 15ти, то на углах стоят чётные числа, а на сторонах – нечётные.

Теперь исключаем неизвестные:

a	b	c
d	5	10-d
10-c	10-b	10-a

Дальше можно было бы ещё удалить переменную d, воспользовавшись равенством a+b+c = a+d+10-c, откуда d=2c+b-10, а также выразить c как 15-a-b, однако пропустим этот шаг и сразу перейдём к заполнению числами.

Заполнение углов чётными числами с точностью до переворотов и отражений будет единственным. Куда-нибудь ставим двойку, автоматически в противоположном углу будет 8. Оставшуюся пару углов занимают числа 4 и 6:

2	b	4
d	5	10-d
6	10-b	8

Теперь однозначно устанавливаются и нечётные числа на сторонах:

2	9	4
7	5	3
6	1	8

Итак, мы получили самый простой и древнейший известный человечеству магический квадрат. Согласно китайскому преданию, он был начертан на панцире священной черепахи.

Помимо последовательных натуральных чисел, отдельный интерес представляет расположение в клетках магического квадрата простых чисел, квадратов, кубов и пр. А исследователь Наталия Макарова в теме о магических квадратах на научном форуме представляет свои результаты и приглашает к поиску квадратов, состоящих из последовательных чисел Смита.

Числа Смита – отдельное любопытное явление. У этих чисел сумма цифр совпадает с суммой цифр всех их простых делителей. Например,
2888=2*2*2*19*19
2+8+8+8=2+2+2+1+9+1+9

Минимальный квадрат 3х3 из последовательных чисел Смита нашёл Макс Алексеев

84138954584	84138954498	84138954532
84138954486	84138954538	84138954590
84138954544	84138954578	84138954492

Как говорит сама Наталия:

Сложность этой задачи состояла в том, что для её решения пришлось сгенерировать очень большие числа Смита.

Теперь остались не построены квадраты порядков 4 - 5, 7 - 9 из последовательных чисел Смита; а из произвольных - только квадраты порядков 7 - 9 осталось построить.

Ну, разумеется, не считая квадратов больших порядков. Квадраты из последовательных смитов построены до порядка 50, а квадраты из произвольных - до порядка 35. Можно и дальше продолжить построение, для следующих порядков.

Квадраты больших порядков построены по уникальным программам Stefano Tognon (Италия), которые, увы, не работают для маленьких порядков.

Сейчас в последовательности A170928 минимальных констант магических квадратов, состоящих из чисел Смита, стоят три вопросика, как раз для непостроенных магических квадратов порядков 7 - 9. Каждый, кто сможет построить такой квадрат, будет его автором и попадёт со своим квадратом в энциклопедию OEIS. По-моему, это неплохой стимул к решению задачи :)

Так что задача открыта и вы можете сказать новое слово и вписать своё имя в исследования магических квадратов.

Желаем удачи!!!

P.S. 19 февраля участник 12d3 с научного форума dxdy.ru нашёл, а svb подтвердил правильность вычисления магического квадрата из чисел Смита пятого порядка.

1743898107	1743898095	1743898425	1743898281	1743898414
1743898144	1743898450	1743898341	1743898256	1743898131
1743898371	1743898155	1743898226	1743898268	1743898302
1743898440	1743898166	1743898168	1743898306	1743898242
1743898260	1743898456	1743898162	1743898211	1743898233

Исследование продолжается.