Основні методи інтегрування

Тема уроку: основні методи інтегрування
Мета уроку: засвоєння учнями практичних навичок інтегрування різними методами, підвищення математичної культури учнів, розвиток основ логічного мислення.
Тип уроку: формування вмінь і навичок

Хід уроку.

І Перевірка домашнього завдання, актуалізація опорних знань учнів.
1. Два учні запрошуються до дошки для відтворення домашнього завдання №20 г) і д), рівень Б.


Учні коментують розв’язання та відповідають на питання інших.

2.Повторення теоретичного матеріалу.
Учні відповідають на питання
а) Означення первісної та невизначеного інтегралу
б) Властивості первісної.
в) Основні методи інтегрування

3. Розв’язання задачі фізичного змісту.
Знайти відстань, що пройшла точка за проміжок часу від t=0 до t=3с, якщо швидкість точки змінюється за законом v=9,8t–0,3t2 (м/с).
Розв’язання
S’(t)=V(t), тому

Використаємо початкові умови. Так як при t=0 S=0, то  і С=0.
(м)
Відповідь:41,4 м.

ІІ Повідомлення теми, мети і задач уроку.
Учитель записує на дошці тему уроку: «Основні методи інтегрування» і формулює учням задачі уроку:

• Повторити застосування основних методів інтегрування
• Навчити обирати оптимальні методи розв’язання
• Підвищити математичну культуру учнів

IІІ Мотивація навчальної діяльності учнів
Вчитель:
- Ми вже другий рік вивчаємо алгебру і початки аналізу. З деякими темами, а саме – з інтегруванням ви зустрінетесь у курсі вищої математики. Але щоб підготувати себе до більш складної роботи, до розв’язання нестандартних задач ми вдосконалюємо вміння вибирати оптимальні методи розв’язання. Крім того ви готуєтесь до Зовнішнього незалежного оцінювання та подальшого навчання у вузі. І я хотіла б, щоб знання про інтеграли допомогли вам більше, ніж персонажу цієї байки:

«Професор зустрічає свого випускника, який навчався досить посередньо і не завжди відвідував лекції з вищої математики. Професор питається в нього:
- Чи допомогли вам інтеграли у житті?
- Так, пригадую такий випадок, - відповідає той.
- Дуже цікаво! Розкажіть мені, а я потім розповім своїм студентам.
- Одного разу я йшов по вулиці, і раптом вітром в мене зірвало капелюх і плюхнуло у калюжу. А я зігнув дрота у формі інтегралу та витяг капелюх!»
Зрозуміло, що це жарт, а ми з вами в подальшому будемо говорити про дуже серйозні речі.

IV Формування компетенцій, вмінь та навичок учнів.

Клас ділиться на групи по 3 учні, серед яких один виконує роль лідера. Принцип поділу – «Інтегральне лото»: у одну групу збираються учні, що мають картки з первісними до інтегралу на картці, що показую лідер.

Кожна група отримує завдання на картках:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 

Додаткове завдання:

По мірі готовності лідер оцінює учасників групи і пропонує на дошці відтворити розв’язок.
1.

2.
Символ ln для всіх учнів ще невідомий, крім двох, що готуються до олімпіади, і поняття логарифму вже вивчили. Тому вони пояснили іншим, як береться цей інтеграл.

3.
Учитель: «Діти, згадайте, що таке софізм. Які софізми вам відомі? Я хочу запропонувати вам ще один, де з допомогою інтегралів доводиться, що 1 дорівнює 0. А ви меня поясните, який логічний крок не враховується».

Розглянемо інтеграл . Використаємо метод інтегрування частинами. .
Отримаємо:
Отже:

Звідки 0=1.

Після деяких міркувань та консультацій між групами учні з’ясовують, що два інтеграли є рівними з точністю до сталої, отже віднімання від обох частин рівності по інтегралу – некоректна дія.

Продовжуємо роботу в групах зі знаходження інтегралів.

4.

5.

6.
7.

Вчитель пропонує учням знайти два інтеграли, які на перший погляд беруться однаково:

Виконаємо заміну

У даному випадку підстановка не дасть бажаного результату, а лише ускладнить вираз. Отже, піднесемо двочлен x2+1 до четвертого ступеня. Згадаємо Біном Ньютона та трикутник Паскаля: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1

Питання класу: «Хто розв’язав додаткове завдання і які формули треба пригадати?»
У інтегралі використовуються формули синусу подвійного аргументу.

Нерідко може трапитися, що потрібна формула вилетіла з голови. Як пригадати забуту формулу я пояснюю на своєму сайті: http://intelmath.narod.ru/formulas-trigonom.html Це стане вам у пригоді при підготовці до ЗНО.

V Підбиття підсумків уроку.
Лідери груп звітують про роботу кожного учня на уроці та отримані оцінки. Оцінки також отримують учні, які працювали біля дошки.

VI Домашнє завдання.
Повторити параграф 1, пп.1, 2, 3, розв’язати №21 в), відповісти на контрольні запитання стор.23 а). Зробити табл. на стор.24 у лекційних зошитах.