Свойства числа 2009

Традиционно в заданиях математических олимпиад некоторым образом фигурирует год её проведения. Так что в скором времени следует ожидать задач, затрагивающих число 2009. Мы заранее провели исследование и составили список некоторых интересных его свойств, надеемся, он окажется Вам полезным.

  • Число 2009 раскладывается на простые множители следующим образом: $2009=7 * 7 * 41$
  • Следовательно, число 2009 можно представить в виде разности квадратов целых чисел тремя способами: $2009=1005^2-1004^2=147^2-140^2=45^2-4^2$
  • А в виде суммы квадратов число представляется единственным образом: $2009=28^2+35^2$
  • Чтобы получить число 2009 в виде суммы кубов, потребуется минимум 4 слагаемых, и сделать это можно тремя способами:
    $2009=1^3+2^3+10^3+10^3=1^3+4^3+6^3+12^3=4^3+6^3+9^3+10^3$
  • В виде суммы треугольных чисел (имеющих вид $T_n=\frac{n(n+1)}{2}$) число 2009 можно представить 11-ю способами:
    $2009=T_1+T_{10}+T_{62}=T_1+T_{35}+T_{52}=T_7+T_7+T_{62}=T_7+T_{31}+T_{54}=T_7+T_{43}+T_{45}=T_8+T_{34}+T_{35}=T_9+T_{22}+T_{58}=T_{13}+T_{27}+T_{55}=T_{22}+T_{25}+T_{53}=T_{22}+T_{27}+T_{52}=T_{27}+T_{28}+T_{49}$
  • А в виде разности треугольных чисел число 2009 можно представить 6-ю способами: $2009=T_{2009}-T_{2008}=T_{1005}-T_{1003}=T_{290}-T_{283}=T_{150}-T_{136}=T_{69}-T_{28}=T_{65}-T_{16}$
  • 2009-е треугольное число равно 2 019 045
  • Число 2009 входит в Пифагоровы тройки взаимно-простых чисел: (2009; 2018040; 2018041), (2009; 41160;41209), (360;2009;2041)
  • Число 9002, образованное из 2009 обратной записью, также делится на 7: $9002= 2 * 7 * 643$
  • Число 2009 делится на сумму всех своих делителей, меньших корня из него: 1+7+41=49 и 2009 делится на 49
  • 2009-е простое число равно 17471, это палиндром, оно одинаково читается как справа налево, так и слева направо
  • Простыми также являются числа $P_{2009}+6$, $P_{2009}+12$, $P_{2009}+18$, $2*2009+1$, $3*2009+2$ и $4*2009+3$
  • Рассмотрим процесс: берём натуральное число и прибавляем к нему сумму его цифр. Число 2009 в нём можно получить из самопорождённого (по Капрекару) числа 1693 за 19 шагов: 1693 - 1712 = 1693+(1+6+9+3) - 1723 = 1712+(1+7+1+2) - 1736 - 1753 - 1769 - 1792 - 1811 - 1822 - 1835 - 1852 - 1868 - 1891 - 1910 - 1921 - 1934 - 1951 - 1967 - 1990 - 2009.
  • В другом процессе, рассмотренном индийским математиком Капрекаром, будем из числа, образованного цифрами четырёхзначного числа, записанными в порядке убывания, вычитать число, образованное теми же цифрами, но в порядке возрастания. К числу 6174, постоянной Капрекара, мы придём за 3 шага: К(2009) = 9200-0029=9171; К(9171) = 9711-1179=8532; К(8532) = 8532-2358=6174. К(6174) = 7641-1467=6174.
  • В числе $2009!=1*2*3*\dots*2009$ ровно 5765 цифр. Оно заканчивается пятьюстами нулями.
  • Пожалуй, наиболее экзотический факт: оказывается, существует ровно 2009 5-мерных гексамино.
  • Существует ровно 2009 Гамильтоновых графов с 8-ю вершинами. (В Гамильтоновых графах между каждыми двумя вершинами существует путь, проходящий через все остальные вершины ровно один раз)

Задайте вопрос на блоге о математике