Онлайн энциклопедия целочисленных последовательностей

Первый из обзоров математических ресурсов Интернета я решил посвятить «Онлайн энциклопедии целочисленных последовательностей». Располагается она по длинному слабозапоминающемуся адресу: http://www.research.att.com/~njas/sequences, однако легко находится гуглем просто по своему названию.

Кому она может пригодиться? Во-первых, если при решении задачи вы получили некоторый набор значений для частных случаев и вывести общую формулу достаточно сложно, наверняка она найдётся здесь. На данный момент коллективом во главе с Нилом Дж. Слоуном систематизировано 142 230 последовательностей. Для каждой даётся описание, авторы и, если есть, общая формула. Описания, правда, на английском языке, но технический переводчик легко с ними справляется. Формулы же, как и вся математика, интернациональны.

К примеру, вы исследуете количество делителей у числа n. У единицы только один делитель, у двойки и троки их по два, у четвёрки – 3, у пятёрки – 2, у шестёрки 4 и т.д. Задаём для поиска количества делителей первых восьми натуральных чисел: 1,2,2,3,2,4,2,4. Оказывается, эта восьмёрка входит в целых 24 последовательности в энциклопедии, но нам повезло, искомая идёт первой. Можно прочитать о различных её применениях, узнать об исследователях, посмотреть график, . Кстати, можно обратить внимание, что у большинства чисел чётное количество делителей. А почему так?

Кроме решения чисто научных задач, энциклопедия предоставляет огромный материал для составителей задач типа «найди закономерность». Достаточно взять любую последовательность, заменить некоторые члены многозначительными многоточиями – и задача готова! :-) Само собой, что и решать такие задачи с помощью энциклопедии – одно удовольствие (правда, докапываться самостоятельно – удовольствие другое, намного большее, но иногда позволительно и в ответ подглянуть ;-) )

В частности, здесь можно найти и такой крепкий орешек, как 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221
Оказывается, эту последовательность исследовал ещё отец игры «Жизнь» Джон Конвей. Попробуйте догадаться, какое число будет идти следующим (ответ – в энциклопедии или в конце этого обзора)

После этого я не сомневался, что найду здесь и 3, 3, 5, 4, 4, 3, 5, 5, 4, 3, и оказался прав. Здесь также нашёлся и её русский аналог: 4, 3, 3, 6, 4, 5, 4, 6, 6, 6, 11. Что же это за последовательности? Интересно, существуют ли такие для Китая и Японии?

Несколько слов собственно о поиске информации. Если требуется, чтобы задаваемые вами члены встречались в искомой последовательности строго один за другим, разделите их запятыми, если же достаточно только их присутствие, а порядок не важен – используйте пробелы. Если все известные члены имеют общий делитель, сократите их на него перед поиском. Если в последовательности можно выделить две подпоследовательности, ведите поиск по каждой в отдельности (например, вместо 1, 1, 4, 3, 9, 5, 16, 7, 25, 9, 36 ведите поиск отдельно по 1, 4, 9, 16, 25, 36, отдельно по 1, 3, 5, 7, 9). Если нужно найти закономерность в последовательности простых дробей, попробуйте найти её отдельно для числителей, отдельно - для знаменателей. При анализе двухмерных массивов задайте в поиск строки, столбцы или диагонали. Можно также задать через запятую цифры записи некоторой бесконечно десятичной дроби, и, как правило, система расскажет, что это за дробь

К примеру, по запросу 2,7,1,8,2,8 совершенно верно выдаёт число е и в придачу, ещё 50000 его цифр после запятой. Попутно также нашлось интересное приближение:

Сам я узнал об этой энциклопедии из статьи Константина Кнопа в номере Компьютеры за 1998 год и с тех пор она заняла постоянное место у меня в «Избранном». Надеюсь, и вам она окажется полезной.

Ответы:

1. Если некоторое натуральное число n делится на k, то оно будет делиться и на n/k. То есть все делители числа можно разбить в пары. И только если n – полный квадрат, то найдётся один делитель, которому пары не будет. Выходит, нечётное число делителей только у полных квадратов.
2. Последовательность формируется так: 1 – одна единица (11) – две единицы (21) – одна двойка, одна единица (1211) и т.д., каждый раз словесно описывая предыдущую строку.
3. 3,3,5,4,4,3,5,5,4,3 – количество букв в английских числительных one, two, three и т.д. Соответственно, 4,3,3,6,4,5,4,6,6,6,11 – количества букв в русских числительных. Для китайского и японского языков в энциклопедии оказалось несколько аналогичных последовательностей: подсчитывались штрихи a иероглифах, сами иероглифы, буквы в романизированной записи и даже номера тонов, которыми произносятся цифры чисел.