Занимательная математика в интернете

На сайте Math-on-line.com проводятся регулярные массовые конкурсы по решению логических задач среди школьников.

На момент напписания обзора шёл седьмой конкурс, решения принимались до 15 апреля 2010 года.

Чтобы стать участником конкурса, нужно:

• Зарегистрироваться на сайте олимпиады.
• Зайти по паролю на свою личную страничку.
• Ознакомиться с задачами.
• Когда будет готово решение по очередной задачке, впечатать его в Форму для ответов и сохранить.
• Когда решения по всем задачам будут внесены в Формы для ответов и сохранены, сдать работу на проверку.
• Главный критерий оценки конкурсной работы - правильный и обоснованный (полученный на основе доказательных рассуждений) ответ на задачу конкурса.

Задача 1. Шахматный Клуб Зверей
Однажды, в субботу вечером Винни Пух и Тигра решили отдохнуть и поиграть в шахматы в Шахматном Клубе Зверей.
Они оба сыграли по несколько партий.
К своему великому изумлению, Винни Пух ни разу не проиграл, а даже выиграл две партии, а три партии свел в ничью.
Тигра выиграл три партии и три партии проиграл.

Чему равно самое маленькое число игр, которое могли сыграть Винни Пух и Тигра всего в этот вечер?

Задача 2. Посчитаем черепашек на Олимпийских Играх Зверей!
В команде рептилий были только черепашки. Черепашек было больше 50-ти, но меньше 100.
На церемонии открытия Олимпийских Игр Зверей эту команду никак не удавалось построить рядами по 2, 3, или 4 животных, так как одного животного всегда не хватало в последнем ряду.

Поэтому пришлось построить команду черепашек рядами по 5 животных в каждом ряду.

Сколько всего черепашек было в команде рептилий?

Задача 3. Соревнование и конфеты
Анна, Лада и Диана устроили соревнование по бегу на роликовых коньках.
Вначале у всех было одинаковое количество конфет, но после каждого забега девочка, прибежавшая последней, отдавала девочке, занявшей первое место - 2 конфетки, а девочке, занявшей 2-ое место - 1 конфетку.

Не было ни одного забега, в котором первое или второе место заняли бы две девочки.

После 5-ти забегов у Анны стало 18 конфеток, у Лады - 8 конфеток, у Дианы - 4 конфетки.

Сколько раз каждая девочка занимала 1-ое, 2 -ое или 3-е место?

Задача 4. Кто угнал машину?
В некотором городе живут три типа людей: такие, которые всегда говорят правду (правдолюбцы), всегда говорят неправду (лжецы), и шутники, в зависимости от настроения, говорят либо правду, либо неправду.
В этом городе кто-то угнал машину у градоначальника. Полиция задержала троих человек: Джона, Джека и Джо.

Полиции было известно, что один из них - лжец, один - всегда говорит правду, а про третьего точно неизвестно, говорит ли он правду или ложь.
Полиция также знала, что один из них угнал машину, и что этот человек всегда говорит правду.

Три человека сказали следующее:

Джон: Я не виновен.
Джек: Он говорит истинную правду.
Джо: Я угнал машину.

Кто угнал машину и кто лжец?

Задача 5. Ищем зеркальную пару чисел
Два числа называются зеркальной парой чисел, если порядок цифр в одном из них слева направо такой же самый, как порядок цифр другого числа справа налево.
Произведение какой зеркальной пары чисел равно 92565?

Задача 6. Математический ребус!

В этом математическом ребусе каждую букву "а" нужно заменить цифрой, причем за буквой "а" может прятаться любая цифра!

Цель конкурса - освоение арифметического метода решения задач, способствующего развитию логического мышления (как, например, в задачах про коров или про паромы).

Предпочтения будут отдаваться тем решениям, которые основаны на доказательных рассуждениях. Но и другие решения также принимаются и учитываются при подведении итогов.

Решение задачи разными способами поощряется.

Можно стать участником конкурса даже в случае, если решены не все задачи.