Третья открытая интернет-олимпиада по математике

Математический Марафон - регулярный конкурс, который уже несколько лет проводит Владимир Лецко (VAL). Сейчас мы объединили усилия и приглашаем принять участие в Третьей открытой Интернет-олимпиаде по математике - XIII туре Математического Марафона.

Приветствуются все, кто любит поломать голову над нестандартными задачами!

Ждем от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.

Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. 

=====================================

В рамках 13-го тура, как обычно, проводится тематический конкурс.
Он является прямым продолжением тематического конкурса из 11-го тура. 
Его тематика - комбинаторная геометрия.

Более того, тематические задачи тура, как и задачи ММ57, ММ101, ММ102, ММ103, ММ104 и ММ120, будут так или иначе связаны с выпуклыми многоугольниками.

В условиях и для решения этих задач используется следующая терминология:

=====================================

Число сторон исходного выпуклого многоугольника всегда обозначается через n (если иное не оговорено в конкретной задаче). 
Исходный многоугольник разбивается своими диагоналями на элементарные.
Точка внутри многоугольника называется особой (полюсом), если в ней пересекаются не менее трех диагоналей.
Если в особой точке пересекаются k диагоналей, то она является полюсом порядка k-2.
Многоугольник без особых точек будем называть ординарным, иначе - особенным.
Структурным графом выпуклого многоугольника будем называть граф, вершинами которого служат вершины и точки пересечения диагоналей исходного многоугольника, а ребрами - отрезки диагоналей и стороны исходного многоугольника.
Дуальный граф - граф геометрически двойственный структурному (вершины - грани плоской укладки структурного графа, две вершины смежны, если соответствующие грани имеют общую сторону).
Сопровождающий граф - дуальный граф без вершины, соответствующей внешней грани.
Будем называть два выпуклых многоугольника изотопными, если изоморфны их структурные графы. 
В задаче ММ104 было введено понятие изоморфизма многоугольников. Изоморфными назывались многоугольники, сопровождающие графы которых изоморфны. Можно доказать, что два выпуклых многоугольника изоморфны тогда и только тогда, когда они изотопны. Мы не стали предлагать это утверждение в качестве марафонской задачи. Желающие убедиться в его справедливости могут сделать это самостоятельно (или с помощью книжек: см., например, А.А.Зыков. Основы теории графов). 

Пусть n>5. Характеристическим вектором n-угольника будем называть набор , где  - число полюсов порядка k.
Два многоугольника будем называть изополярными, если равны их характеристические векторы. 
Вектором граней многоугольника будем называть набор , где  - количество элементарных k-угольников. 
Два многоугольника будем называть однотипными, если равны их векторы граней.

=====================================

Задача ММ121 является прямым продолжением задачи ММ104.
Оценка за решение задачи ММ121 будет учитываться дважды в основном Марафоне и в тематическом конкурсе.

Решения принимаются, по крайней мере, до 11.09.10.

ММ121 (КГ-6) (8 баллов)

1. На сколько классов однотипных семиугольников разбиваются выпуклые семиугольники?
2. На сколько классов изотопных семиугольников разбиваются выпуклые семиугольники? 

Разбор задачи ММ121
================

Задача ММ122 является прямым продолжением задачи ММ57.
Оценка за решение задачи ММ122 будет учитываться дважды в основном Марафоне и в тематическом конкурсе.

Решения принимаются, по крайней мере, до 14.09.10.

ММ122 (КГ-7) (4 балла)

1. Найти формулу для выражения числа вершин структурного графа с данным характеристическим вектором. 
2. Найти формулу для выражения числа элементарных многоугольников исходного многоугольника с данным характеристическим вектором. 

Разбор задачи ММ122
================

Решения принимаются, по крайней мере, до 17.09.10.

ММ123 (5 баллов)

Квадратная монета со стороной 1 см бросается случайным образом на лист бумаги, разлинованный квадратными клетками со стороной 2 см. Какая вероятность того, что монета попадёт целиком в клетку?

Разбор задачи ММ123
================

Решения принимаются, по крайней мере, до 20.09.10.

ММ124 (4 балла)

Пусть  - сумма n первых простых чисел.  Доказать, что   является простым тогда и только тогда, когда существует такое простое число q, что  кратно .
Разбор задачи ММ124
================

Оценка за решение задачи ММ125 будет учитываться дважды в основном Марафоне и в тематическом конкурсе.

Решения принимаются, по крайней мере, до 23.09.10.

ММ125 (КГ-8) (4 балла)

Верно ли, что группа автоморфизмов структурного графа любого n-угольника изоморфна подгруппе группы диэдра n-й степени?
Разбор задачи ММ125
================

Решения принимаются, по крайней мере, до 26.09.10.

ММ126 (4 балла)

Есть 8 шаров, среди которых 6 заряжены нейтрально, один - положительно и один - отрицательно. Есть прибор, который, будучи поднесённым к группе шаров, покажет их общий заряд (он покажет 0 и если в группе нет ни одного заряженного шара, и если они там оба).
За какое наименьшее число измерений можно найти положительный и отрицательный шары в группе?
Разбор задачи ММ126
================

Оценка за решение задачи ММ127 будет учитываться дважды в основном Марафоне и в тематическом конкурсе.

Решения принимаются, по крайней мере, до 30.09.10.

ММ127 (КГ-9) (12 баллов)

Существуют ли однотипные, но не изополярные многоугольники?
Разбор задачи ММ127
================

Оценка за решение задачи ММ128 будет учитываться дважды в основном Марафоне и в тематическом конкурсе.

Решения принимаются, по крайней мере, до 12.10.10.

ММ128 (КГ-10) (20 баллов)

На сколько классов изополярных восьмиугольников разбиваются выпуклые восьмиугольники?
Разбор задачи ММ128
================

Решения принимаются, по крайней мере, до 4.10.10.

ММ129 (5 баллов)

Будем заполнять бесконечный клетчатый лист бумаги натуральными числами по спирали (каждый следующий виток начинается на вертикали, в которой стоит единица):



Для каждого числа найдём восемь модулей разности его с соседями (по вертикали, горизонтали и диагонали).  Количество простых чисел среди этих восьми назовем индексом простоты окружения исходного сила.
Какое наибольшее значение может принимать индекс простоты окружения? 
Для скольких чисел достигается это значение?
Разбор задачи ММ129
================

Решения принимаются, по крайней мере, до 8.10.10.

ММ130 (6 баллов)

Комната имеет форму прямоугольного параллелепипеда шириной a, высотой b и длиной c. На стене a x b сидит таракан. Он находится на расстоянии  от смежной стены и на расстоянии x от потолка,  и хочет попасть в точку, симметричную исходной относительно центра параллелепипеда.

Для некоторых значений a, b, c кратчайший путь между этими точками будет проходить через одну и ту же последовательность граней при любом x, . Для каждой такой последовательности граней приведите пример тройки a, b, c.

Разбор задачи ММ130

================

Решения присылайте на  val@dxdy.ru или intelmath@narod.ru.