Утроение числа после перестановки цифр

Задача
Про некоторое число известно, что если переставить его последнюю цифру в начало, число увеличится втрое. Найдите наименьшее число с таким свойством.

Первая идея по решению: последняя цифра числа не должна быть меньше трёх (ведь затем она превратится в первую цифру утроенного числа). Допустим, она равна трём. Тогда число имеет вид х=*…*3, а утроенное число выглядит как 3х=3*…*.

Но если первоначальное число оканчивается на тройку, то последняя цифра утроенного числа будет девяткой. 3х=3*…*9. Следовательно, первоначальное число оканчивается на 93: х=*…*93.

Умножив 93 на 3 и получив 279, узнаём две последние две цифры числа 3х=3*…*79. Теперь мы имеем три последние цифры числа х=*…*793. Это позволяет нам узнать последние три цифры утроенного числа: 3х=3*…*379, что, в свою очередь, даёт последние 4 цифры числа x=*…*3793.

Продолжать этот процесс мы должны будет до тех пор, пока между найденными кусками чисел x и 3x не установится требуемое соотношение. Однако когда количество вычисленных знаков перевалит за десяток-другой (к примеру: x = *…*82758620689655172413793 и 3x = 3*…*8275862068965517241379), начинаешь сомневаться. А есть ли вообще решение? Стоит ли продолжать? Вдруг в ход вычислений закралась ошибка? Может, последняя цифра была изначально взята неправильно? Существует ли более быстрый способ найти требуемое число или доказать, что его не существует?

И, действительно, более лёгкий способ есть! Пусть у искомого числе k+1 цифра. Обозначим его последнюю цифру как а, а остальную часть числа – как у. Тогда выполняются равенства:
х=10у+а; 3х=10^ka+y
30y+3a=10^ka+y
29y=(10^k-3)a

Теперь мы видим, что количество знаков в числе х должно быть таким, чтобы число 10^k-3 делилось на 29.

Здесь перебирать степени десятки тоже нет надобности, а можно воспользоваться приёмом, описанным в статье об обобщённом признаке делимости. Построив таблицу остатков оказывается, что остаток 3 при делении на 29 даёт число: 10²⁷=1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 (октиллион). Разделив число 10²⁷-3 на 29 и умножив на a=3, получаем: y = 103448275862068965517241379.

Значит х = 1034482758620689655172413793 и 3x = 3103448275862068965517241379.

Это число – минимальное, обладающее требуемым свойством. Ведь мы показали, что у него минимально возможное количество цифр: k+1=28 и минимально возможная первая цифра у утроенного числа: a=3.

Можно получить ещё 6 28-ми значных чисел, утраивающихся после перестановки последней цифры в начало. Для этого нужно брать а=4, 5, 6, 7, 8, 9.

Используем теперь этот метод для поиска числа, которое утраивается при перестановке его первой цифры в конец.
Обозначим:
х=10^ka+y; 3х=10у+а
3(10^ka+y)=10у+а
(3*10^k-1)a=7y

Теперь видим, что при a>2 число y, полученное по формуле, будет иметь не k, а k+1 знак, и потому не будет решением задачи. Значит, а=1 или 2. Тогда k должно быть таким, чтобы 3*10^k давало остаток 1 при делении на 7. Находим, что k=5 и число у для a=1 составит 42857. Значит x=142857, 3x=428571. Оказывается, это уже знакомый нам период дроби .

Пользуясь данным методом, можно построить таблицу

Минимальные числа x, увеличивающиеся в n раз после переноса последней цифры в начало:

n	x
2	105263157894736842
3	1034482758620689655172413793
4	102564
5	142857
6	1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966
7	1014492753623188405797
8	1012658227848
9	10112359550561797752808988764044943820224719

Если же рассматривать перенос первой цифры в конец, то задача имеет решение только для случая утроения числа, который был рассмотрен в этой статье.