Всеукраинская олимпиада по математике, III этап 2009 год

1. В супермаркете введены скидки. За покупку товаров на сумму от 300 гривен, покупатель получает скидку 4%, а при покупке товаров на сумму от 600 гривен, он получает скидку 10%. На какую наибольшую сумму (с точностью до копейки) может приобрести товаров покупатель, если у него в кармане
а) 594 гривен; 
б) 534 гривны?

2. Шахматная доска размером 7x7  покрашена в шахматном порядке (все угловые клетки черные). По шахматной доске ходит фишка, которая может ходить с клетки на соседнюю по стороне клетку. Если фишка попадает на некоторую клетку, то эта клетка меняет свой цвет на противоположный. Вначале фишка стоит в левом нижнем углу. Можно ли с помощью перемещения этой фишки перекрасить все клетки доски в черный цвет?

3. Все числа от 1 до 2009 в произвольном порядке записали в виде одного числа. Может ли полученное число быть квадратом целого числа?

4. Прямоугольник разбит на 16 прямоугольников, у которых неизвестны длины сторон. Известна площадь шести маленьких прямоугольников, которые образовались при таком разбиении, и их площади показаны на рисунке. Найти площадь каждого из четырех маленьких прямоугольников, которые расположены в нижнем ряду, если площадь заданного большого прямоугольника равна 168. Ответ обосновать.

Задачи для 8 класса >