Всеукраинская олимпиада по математике, III этап 2009 год

1. Решить систему уравнений:

2. Найти наименьшее натуральное число, у которого произведение цифр равно 5120.

3. Доказать, что для любых действительных чисел  выполняется неравенство: .

4. Задан треугольник  и точка , которая не лежит ни на одной из прямых, которые содержат стороны треугольника. Пусть  – прямая, которая проходит через точку  перпендикулярно прямой , . Пусть  точка пересечения прямых ,  – точка пересечения прямых , а точка  – пересечения прямых , а точки  – это точки пересечения высот треугольников , ,  соответственно. Доказать, что треугольники  и  равны.

5. Шахматная доска размером 2009x2009  покрашена в шахматном порядке (все угловые клетки черные). По шахматной доске ходит фишка, которая может ходить с клетки на соседнюю по стороне клетку. Если фишка попадает на некоторую клетку, то эта клетка меняет свой цвет на противоположный. Вначале фишка стоит в левом нижнем углу. Можно ли с помощью этой фишки перекрасить все клетки доски в черный цвет, если ходить сразу в обратном направлении запрещено? То есть, ходить так, как на рис.1, запрещено, а так, как на рис.2, можно.

<Задачи для 8 класса | Задачи для 10 класса>