Всеукраинская олимпиада по математике, III этап 2009 год

1. Сравните два числа:
 и .

2. Найдите все натуральные значения , при которых число  является периодом функции .

3. В треугольнике  проведены биссектрисы  и , которые пересекаются между собой в точке , а их продолжения пересекают описанную вокруг треугольника  окружность в точках  и  соответственно. Отрезок  пересекает стороны  и в точках  и  соответственно. Доказать, что:

а) четырехугольник  – ромб;
б) сторона этого ромба .

4. Назовем заполнение квадрата 2009x2009, разбитого на единичные квадратики, „правильным”, если он заполнен числами  так, что в каждой строке и в каждом столбике есть каждое из этих чисел. Рассмотрим расстояние от центральной клетки до ближайшей клетки с числом 1 (под расстоянием понимается наименьшее число ходов, которые нужны шахматному королю, чтобы добраться до клетки). Какое наибольшее значение может принимать это расстояние?

5. Существует ли такой многочлен , , все три корня которого целые числа и  – простое число?

<Задачи для 10 класса | Задачи 2010 года >