Всеукраинская олимпиада по математике, III этап 2009 год

1. Прямая  пересекает параболу   в двух точках  і . Прямая , параллельная прямой  и касается параболы в точке . Доказать, что среднее арифметическое абсцисс точек  и  равно абсциссе точки .

2. а) Известно, что для четырех натуральных чисел  выполняется условие: каждое из чисел  является полным кубом натурального числа. Обязательно ли каждое из чисел  также является кубом натурального числа.

б) Известно, что для пяти натуральных чисел  выполняется условие: каждое из чисел  является полным кубом натурального числа. Обязательно ли каждое из чисел  также является кубом натурального числа.

3. На бумаге в клеточку выделен квадрат 2009x2009. Два игрока по очереди закрашивают в желтый цвет единичные отрезки, которые являются границами единичных квадратов, которые расположены внутри или на границе выделенного квадрата и еще не были закрашены. Побеждает тот игрок, после хода которого, впервые одна единичная клетка станет иметь покрашенные в желтый цвет сразу все 4 стороны. Кто побеждает в этой игре при правильной игре обоих – тот, кто начинает или тот, кто ходит вторым?

4. В треугольнике  проведены биссектрисы  и , которые пересекаются между собой в точке , а их продолжения пересекают описанную вокруг треугольника  окружность в точках  и  соответственно. Отрезок  пересекает стороны  и в точках  и  соответственно. Доказать, что:
а) четырехугольник  – ромб;
б) сторона этого ромба .

5. Доказать, что для любых действительных чисел  выполняется неравенство: .

<Задачи для 9 класса | Задачи для 11 класса>