Что делать, если забыл математическую формулу? Вывести!

Иногда случается, что нужная для решения задачи формула начисто вылетает из головы. Это не страшно, когда под рукой справочники или интернет, но что если это произошло на олимпиаде, когда дорога каждая минута, а нервы и без того на пределе?

Физики, если им нужно восстановить формулу, исходят из соображений размерности входящих в неё величин. Я на двух примерах покажу, как довольно быстро восстановить математическую формулу, если вы хотя бы в общих чертах помните её вид.

Начнём с формулы Эйлера, связывающей количества граней, рёбер и вершин многогранника. Допустим, мы забыли, как эти величины соотносятся друг с другом, а помним только, что отношение линейное.

Запишем формулу в виде xГ+yВ+zР=t, где Г, В и Р – количества, соответственно, граней, вершин и рёбер, а x, y, z и t – коэффициенты, которые нам необходимо вспомнить. Рассмотрим 4 тела: тетраэдр, куб, четырёхугольную пирамиду и треугольную призму (для облегчения дальнейших вычислений выбираем тела, в которых поменьше граней, вершин и рёбер).

Подставив в формулу количества граней, вершин и рёбер каждого многогранника, получим систему из четырёх уравнений:

4x+4y+6z-t=0 //тетраэдр
6x+8y+12z-t=0 //куб
5x+5y+8z-t=0 // четырёхугольная пирамида
5x+6y+9z-t=0 //треугольная призма

Вычитая из третьего уравнения четвёртое, получим
y+z=0
И третьего первое:
x+y+2z=0
Учитывая предыдущий результат, получим
x+z=0
Теперь в какое бы уравнение ни подставить x=-z и y=-z, будем получать:
-2z-t=0
Таким образом формула Эйлера будет иметь вид:

-zГ+-zВ+zР+2z=0

Подставив вместо z минус единицу и перенеся свободный член вправо, получим формулу Эйлера:
Г+В-Р=2

Можно для проверки попробовать, действует ли она, скажем, для икосаэдра.

Имеем: 20 граней (на то он и икосаэдр), вершин – 12 (2 полюса и 10 в поясе), рёбер–30 (по 5 из каждого полюса, по 5 вокруг верхнего и нижнего краёв пояса и ещё 10 змейкой в самом поясе). 20+12-30=2. Сошлось! Мы таки вспомнили её!

Теперь формулу можно применить при решении задачи. Однако обратите внимание, что такой способ лишь помогает вспомнить забытую формулу, но никак не является её доказательством.

Другая полезная формула – формула Пиля, она позволяет вычислить площадь выпуклого многоугольника с вершинами в узлах сетки клетчатого листа бумаги. Попробуем вспомнить и её.

Итак, имеем, что площадь многоугольника выражается как линейная комбинация числа узлов сетки, лежащих внутри многоугольника, на его сторонах и на углах. Запишем её как
S=xI+yB+zC+t
где S – площадь, I, B и C – количества узлов сетки внутри, на сторонах и на углах многоугольника, а x, y, z и t – неизвестные коэффициенты и свободный член.

Рассмотрим четыре небольших фигуры: треугольник в половину клетки, единичный квадрат, прямоугольник 1х2 и квадрат 2х2. Получим систему из четырёх уравнений:

0.5=3z+t // треугольник в половину клетки
1=4z+t // единичный квадрат
2=2y+4z+t // прямоугольник 1х2
4=x+4y+4z+t // квадрат 2х2

Вычитаем из второго первое:
z=0.5
Вычитаем из третьего второе:
y=0.5
Далее из первого:
t=-1
а из четвёртого:
x=1

Таким образом, формула имеет вид:
S=I+0.5(B+C)-1

Ещё раз повторю, это не доказательство! И если суть задачи сводится к тому, что нужно доказать формулу Пиля, то данный метод не поможет. А вот если данную формулу предполагается использовать как вспомогательную и доказывать её по пути не требуется, то так вполне можно для себя восстановить забытое на черновике. И, разумеется, на абсолютно пустом месте этот метод также не сработает, нужно иметь хотя бы представление о том, что хочешь вспомнить.