Совершенные, дружественные, и компанейские числа

Рассмотрим все делители некоторого числа N, меньшие его самого. Например, число 12 делится на 1, 2, 3, 4 и 6. Такие делители называются собственными делителями числа. Сумма этих делителей 1+2+3+4+6=16, больше самого числа 12. Для числа 33, наоборот, сумма 1+3+11=15<33.

В первой сотне существуют два числа, которые равны сумме своих собственных делителей. Это 6=1+2+3 и 28=1+2+4+7+14. В пифагорействе в рамках концепции «число – мера всех вещей», число 6 выражало ни много ни мало, а само совершенство! С тех пор термин «совершенное число» используется в теории чисел для обозначения таких N, которые равны сумме всех своих собственных делителей.

Числа, вроде 12, у которых сумма своих собственных делителей превосходит само число, называются избыточными. Те же числа, у которых сумма собственных делителей меньше самого числа (как у 33), называются недостаточными.

От Пифагора и его школы пошло ещё много математических терминов, например, квадраты, кубы, треугольные числа и т.д. А сейчас увидим, как по Пифагору числа выражали дружбу.

Возьмём число 220. Сумма его собственных делителей: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284.
Для числа 284 сумма собственных делителей составит:
1+2+4+71+142=220
И мы получаем исходное число. Итак, числа 220 и 284 связаны крепкой дружбой: каждое из них является суммой собственных делителей другого.

Понятия совершенных и дружественных чисел часто упоминаются в литературе по занимательной математике. Однако почему-то мало говорится о том, что числа могут дружить и компаниями. Понятие компанейских хорошо раскрывается в англоязычных источниках.

Компанейскими называется такая группа из k чисел, в которых сумма собственных делителей первого числа равна второму, сумма собственных делителей второго – третьему и т.д. А первое число равно сумме собственных делителей k-го числа.

Почему-то в группы по трое числа не собираются (или по крайней мере, о таких не известно), зато есть компании по 4, 5, 6, 8, 9 и даже 28 участников!

Пример пятёрки (пока единственной известной): 12496, 14288, 15472, 14536, 14264.

Сумма собственных делителей числа 12496:
1+2+4+8+11+16+22+44+71+88+142+176+284+568+781+1136+1562+3124+6248=14288

Для числа 14288:
1+2+4+8+16+19+38+47+76+94+152+188+304+376+752+893+1786+3572+7144=15472

Для 15472:
1+2+4+8+16+967+1934+3868+7736=14536

14536:
1+2+4+8+23+46+79+92+158+184+316+632+1817+3634+7268=14264
И для числа 14264:
1+2+4+8+1783+3566+7132=12496

И возвращаемся к первому из чисел компании.

В связи с этим возникает вопрос. Возьмём натуральное число, затем заменим его на сумму собственных делителей. Так будем поступать и далее. Получаемая последовательность называется аликвотной. Как она может развиваться?

Понятно, что если в этой последовательности встретится простое число, то следующим членом будет единица и последовательность остановится. Если в ней попадётся совершенное или одно из дружественных или компанейских чисел, возникнет цикл длины 1, 2 или более. Но существует ли число, для которого последовательность сумм собственных делителей будет бесконечно расти – неизвестно. Ситуация аналогична с задачей 3x+1.

Одним из кандидатов на безграничный рост является число 276.
276, 396, 696, 1104, 1872, 3770, 3790, 3050, 2716, 2772, 5964, 10164, 19628, 19684, 22876, 26404, 30044, 33796, 38780, 54628, 54684, 111300, 263676, …
На настоящий момент вычислено более 1000 членов и числа становятся всё больше и больше. Но математического доказательства бесконечности роста всё ещё нет.

Некоторые другие открытые проблемы, связанные с совершенными, дружественными и компанейскими числами
Существуют ли нечётные совершенные числа?
Существует ли число, ровно на единицу большее суммы своих собственных делителей?
Существует ли пара дружественных чисел разной чётности?

Рекомендуем почитать
Последовательности совершенных, дружественных и компанейский чисел, также как и наиболее интересные аликвотные последовательности можно найти в Интернет-энциклопедии, о которой мы рассказывали ранее.

Если хорошо с английским, стоит почитать об аликвотных последовательностях на planetmath.org

На русском некоторая информация есть в Википедии