День числа пи

22 июля отмечается Международный день числа пи. А также по чистой (не?)случайности – исполняется ровного год проекту Приглашение в мир математики. Поэтому сегодня мы разберёмся, каким образом дата 22,07 относится к числу пи, как запомнить побольше его знаков после запятой, и как получать хорошие рациональные приближения.

Если сегодняшнюю дату записать как 22/7, а затем прочитать её как обыкновенную дробь, то получится 22/7=3,14285714… Это число даёт 2 верных знака после запятой с числом пи.

Вот интересно, если бы нам потребовалось найти обыкновенную дробь, приближающую пи до двух десятичных знаков, и мы решали бы задачу “в лоб”, то записали бы . Дробь довольно громоздкая, и никаких идей, как бы уменьшить числитель и знаменатель, не теряя в точности, на поверхности не лежит. Поэтому нужен другой способ.

Хорошие рациональные приближения можно получать, зная свойство медианты дробей: если две дроби , то . Дробь, числитель которой равен сумме числителей двух дробей, а знаменатель – сумме знаменателей, называется медиантной дробью и на числовой прямой находится между двумя дробями.
Начнём с очевидного неравенства:

Медиантой крайних дробей будет дробь 7/2=3,5>p

Далее 10/3=3,33…>p

Продолжая находить медианты, получим:

Вот мы и получили приближение, дающее 2 верных знака. Продолжая процесс, заметим, что теперь медианты будут приближаться к числу пи слева:

Последнее приближение слева даёт 4 верных знака числа пи с недостатком. А следующая медианта, =3,1415929… даёт с избытком 6 десятичных знаков! Её можно легко запомнить так: выпишем первые 3 нечётные цифры, каждую по 2 раза: 1, 1, 3, 3, 5, 5. Затем первые 3 цифры образуют знаменатель дроби, 113, а вторые три – числитель, 355.

А для запоминания собственно числа пи есть много мнемонических фраз, самая простая:

Что я знаю о кругах

Здесь число букв в каждом из слов – соответствующая цифра в десятичной записи числа. Лично мне больше всего нравится фраза, использовавшаяся в дореволюционной гимназии:

Кто и шутя и скоро пожелаетъ пи узнать, число ужъ знаетъ

Она даёт значение 3,1515926536. Кроме того, всегда, когда я выписываю число по этой фразе, я вспоминаю, что для повышения точности что последнюю шестёрку стоит заменять на 58.

Интересная фраза есть для запоминания числа е:

Способ помнить е простой – два, семь, дважды Лев Толстой.

Дело в том, что е=2,718281828…, а в 1828 году родился Лев Толстой. В связи с этой мнемонической фразой есть анекдот:

Люди делятся на три категории:
Те, кто запоминает число е через год рождения Льва Толстого
Те, кто запоминает год рождения Льва Толстого через число е
И те, кому наплевать, и на число е, и на Льва Толстого

В числе е можно легко запомнить ещё 6 десятичных знаков, если знать, что это число связывает Льва Толстого и равнобедренный прямоугольный треугольник. Дело в том, что е=2,718281828459045…

Так что поздравляю с праздником и желаю новых интересных открытий!