Задачи олимпиады Кенгуру, решения и ответы

Условия задач

Задача 37. Студент, 3й уровень, 2006
Сколько существует непустых подмножеств множества {1, 2, 3, ..., 12}, в которых сумма наибольшего и наименьшего элементов равна 13?
А: 1024; Б: 1175; В: 1365; Г: 1785; Д:4095;

Задача 38. Юниор, 3й уровень, 2006
Числа 1, 2, 3 записаны по кругу. Затем между ними поместили суммы пар соседних чисел. Получили 6 чисел: 1, 3, 2, 5, 3, 4. Эту операцию повторили ещё 4 раза и в результате получили 96 чисел. Чему равна сумма этих 96-ти чисел?
А: 486;Б:998; В: 1458; Г: 2187; Д: 4374;

Задача 39. Кадет, 3й уровень, 2006
Мама попросила маленького Ваню рассортировать парами его носки после стирки. Но он бросил носки в комод, не сортируя. Там было 5 пар чёрных, 10 пар коричневых и 15 пар серых носков. Ваня собирается пойти в поход на 7 дней. Какое минимальное количество носок ему нужно вытащить из комода, чтобы среди них наверняка оказались 7 пар одного цвета?
А: 21;Б:31; В: 37; Г: 40; Д: 41;

Задача 40 . Школьник, 3й уровень, 2005
С полудня до полуночи Ученый Кот спит под дубом, а с полуночи до полудня он рассказывает сказки. Табличка на дубе говорит: «Два часа назад Учёный Кот делал то же, что он будет делать через час». Сколько часов в сутки табличка говорит правду?
А: 3;Б:6; В: 12; Г: 18; Д: 21;

Задача 41. Малыш, 3й уровень, 2005
Марк загадал трёхзначное и двузначное числа, разность которых равна 989. Тогда сумма этих чисел равна:
А: 1000;Б: 1001; В: 1009; Г: 1010; Д: 2005;

Решения:

Задача 37
Из множества в n элементов можно выбрать подмножество  способами. Таким образом, множеств с наибольшим элементом 12 и наименьшим элементом 1 будет столько, сколько подмножеств множества {2, 3, ..., 10, 11}, а именно 1024. Далее, множеств с наибольшим элементом 11 и наименьшим элементом 2 будет столько, сколько подмножеств множества {3, 4, ..., 9, 10}, а именно 256. Далее будет ещё 64 множества с наибольшим элементом 10 и наименьшим элементом 3, 16 – с наибольшим 9 и наименьшим 4, 4 с наибольшим 8 и наименьшим 5 и одно с наибольшим элементом 7 и наименьшим 6. Всего 1024+256+64+16+4+1=1365.
Ответ В: 1365

Задача 38
Поскольку каждое из дописываемых чисел равно сумме двух соседних чисел из предыдущей итерации, то сумма всех новых чисел будет равна удвоенной сумме всех чисел, бывших на окружности до дописывания. Таким образом, после каждой операции дописывания сумма всех чисел на окружности утраивается, а их количество удваивается. Значит, после 5-ти дописываний  изначальная сумма чисел, равная 6, увеличится в 243 раза и станет равной 1458
Ответ В: 1458

Задача 39
При решении таких задач нужно рассматривать самый неблагоприятный вариант. А именно: какое максимальное количество носок можно вытащить так, чтобы среди них не оказалось 7 пар одного цвета? Ясно, что это будет возможным, если мы вытащим 10 чёрных, 13 коричневых и 13 серых носок: всего 36. Значит, если вытащить 37 носок, то среди них гарантированно будет 7 пар одного цвета.
Ответ В: 37

Задача 40
Поскольку табличка охватывает временной диапазон в 3 часа, то надпись на ней станет правдивой в 2 часа дня и перестанет – в 11 часов вечера. Затем снова стане правдивой в 2 часа ночи и перестанет – в 11 утра. Всего 18 часов.
Ответ Г: 18

Задача 41
Число 989 может получиться только если от наибольшего трёхзначного отнять наименьшее двузначное число: 989=999-10.  Значит, сумма этих чисел равна 999+10=1009.
Ответ В: 1009

<Назад|Далее>