Задачи олимпиады Кенгуру, решения и ответы

Условия задач

Задача 78. Студент, 3й уровень, 2001 год
Дядя Богдан наловил рыбы. Три самых больших рыбы он дал своей собаке, тем самым, уменьшив общий вес своего улова на 35%. Затем он дал три самых маленьких рыбы своему коту, уменьшив вес оставшейся рыбы на 5/13. Остальные рыбы семья съела на обед. Сколько рыб поймал дядя Богдан?
А:8; Б:9; В:10; Г:11; Д: 12;

Задача 79. Юниор, 3й уровень, 2000 год
В одной из подгрупп кубка чемпионов Европы участвовали 5 команд:, A, B, C, D, E. Пять спортивных изданий высказали свои прогнозы насчёт финалистов:
1)B, D;
2)C, E;
3)B, C;
4)A, B;
5)D, C.
Оказалось, что один из прогнозов был полностью верным, а в остальных указывалась лишь одна из команд-финалистов. Какие команды вышли в финал?
А: B, D; Б: C, E; В: B, C; Г: A, B; Д: D, C;

Задача 80. Кадет, 3й уровень, 1999 год
На плоскости даны 4 точки. Пять из шести расстояний между ними равны 7, 5, 5, 2 и 2. Тогда шестое расстояние может равняться:
А: 3; Б: 4; В: 7; Г: 10; Д: 12;

Задача 81. Школьник, 3й уровень, 2002 год
Чтобы очистить 4 своих аквариума, Ваня поселил в них улиток. Чтобы очистить один аквариум, нужны или 4 большие улитки, или 1 большая и 5 маленьких улиток, или 3 большие и 3 маленькие улитки. У Вани 15 больших улиток. Но в зоомагазине он может обменять одну большую улитку на 2 маленьких. Какое наименьшее количество больших улиток нужно обменять Ване, чтобы почистить все свои аквариумы?

А: 2; Б: 3; В: 4; Г: 5; Д: 6;

Задача 82. Малыш, 3й уровень, 2001 год
В футбольном матче победитель получает 3 очка, проигравший – 0, а ничья оценивается одним очком. После 31 матча моя любимая команда имела 64 очка, причём 7 матчей она сыграла вничью. Сколько раз проиграла моя любимая команда?
А: 0; Б: 5; В: 19; Г: 21; Д: 24;

Решения:

Задача 78.
Примем общий вес пойманных рыб за 100. Тогда вес отданных коты рыб составил 35, после этого вес рыб составил 65. Коту было отдано трёх рыб общим весом 25, следовательно, на обед осталось несколько рыб весом 40.
Поскольку три самые тяжёлые рыбы имели общий вес 35, то вес самой тяжёлой из оставшихся рыб не может быть меньше . Аналогично, вес самой лёгкой из оставшихся рыб не может быть меньше .
Следовательно, количество оставшихся рыб находится между числами  и . Единственное целое число в этом диапазоне равно 4. Значит, всего рыб было 3+4+3=10.
Ответ В: 10;

Задача 79.
Перебором возможных вариантов находим такой прогноз, который с каждым из остальных имеет один общий элемент. Это прогноз третьего издательства: B, C.
Ответ В: B, C;

Задача 80
Как могут быть расположены те три из данных четырёх точек, между которыми расстояния известны? Существует лишь 2 варианта: в вершинах равнобедренного треугольника с вершинами 7, 5, 5 или на отрезке длиной 7. В первом случае установить четвёртую точку так, чтобы использовать остальные 2 из известных расстояний, невозможно. А второй вариант даёт нам отрезок длиной 7, разбитый на отрезки в 2, 3 и 2. Следовательно, шестое расстояние равно 3.

На сайте есть ещё одна интересная задача про расстояния между четырьмя точками.
Ответ А: 3;

Задача 81
Относительно «обменного курса» улиток, второй вариант очистки эквивалентен 3,5 большим улиткам, а третий способ – 4,5 большим. Поскольку у Вани всего 15=4+4+3,5+3,5 больших улиток, то ему придётся 2 аквариума чистить первым способом, а ещё два – вторым. Для этого ему нужно 5 больших улиток сменять на 10 маленьких.
Ответ Г: 5;

Задача 82.
За победы команда получила 64-7=57 очков.
Значит, побед было 57/3=19.
Т.к. из 31 матча было 7 ничьих и 19 побед, то поражений было 31-7-19=5.
Ответ Б: 5;

<Назад|Далее>