Задачи олимпиады Кенгуру, решения и ответы

Условия задач

Задача 63. Студент, 3й уровень, 2000 год
Экипаж космического корабля, приземлившегося на Марсе заметил интересные особенности марсиан:

• Все они или красные, или зелёные, или синие;
• Рост каждого – 1 метр;
• У марсианина от 2 до 5 голов;
• На теле у них от 3 до 20 антенн.

Какое минимальное количество жителей должно быть в марсианском посёлке, чтобы среди них заведомо можно было выбрать команду из 11 одинаковых игроков для футбольного матча с космонавтами? (Все 11 марсиан должны быть одного цвета, иметь одинаковое количество голов и одинаковое количество антенн)

А:216; Б:2161; В:2160001; Г:230051; Д: другое;

Задача 64. Юниор, 3й уровень, 2001 год
Пусть а=1997¹⁹⁹⁸+1998¹⁹⁹⁹+1999²⁰⁰⁰+2000²⁰⁰¹. Чему равна последняя цифра числа а?
А:0; Б:2; В:3; Г:4; Д:5;

Задача 65. Кадет, 3й уровень, 2004 год
В июне во Львове число солнечных дней составило 25% от количества пасмурных, количество тёплых – 20% от количества холодных. Только три дня были солнечными и тёплыми. Сколько было пасмурных и холодных дней? (Всего в июне 30 дней)
А: 27; Б: 22; В: 19; Г: 17; Д: 7;

Задача 66. Школьник, 3й уровень, 2005 год
У Полы и Билла вместе 18 гривен, у Билла и Джона – 12 гривен. У Джона и Марии – 10 гривен. Сколько гривен у Марии и Полы?
А: 16; Б: 20; В: 24; Г: 25; Д: 48;

Задача 67. Малыш, 3й уровень, 2002 год
Рассмотрим число 12321232123212321…, состоящее из 2002 цифр. Тремя последними цифрами этого числа будут:
А: 123; Б: 232; В: 321; Г: 212; Д: 321;

Решения:

Задача 63.
Рассмотрим, сколько всего может быть вариаций марсиан. Имеем 3 возможности для цвета, 4 возможности для числа голов и 18 возможностей для количества антенн. Это даёт нам 3x4x18=216 вариантов. Рассмотрим теперь самый неблагоприятный случай: в посёлке живёт по 10 марсиан каждой вариации. Тогда его население составит 2160 жителей. Если же там поселится ещё один марсианин, он наверняка по своим параметрам будет совпадать с некоторыми десятью жителями, формируя тем самым местную футбольную команду.

Верно и обратное: имея 2161=216х10+1 жителей и 216 категорий, согласно принципу Дирихле, как минимум в одной категории будет 11 представителей.
Ответ Б: 2161;

Задача 64.
Последние цифры степеней подчиняются несложным закономерностям. Чтобы их вывести, достаточно понять, что последняя цифра степени зависит только от последних цифр предыдущей степени и основания.
Для семёрки получаем такую таблицу:

Показатель	1	2	3	4	5
Последняя цифра	7	9	3	1	7

Заполняется она так: 7¹=7, 7х7=49. Во вторую ячейку пишем 9. 9х7=63 – пишем тройку в третью ячейку. 3х7=21 – пишем единицу. Далее 1х7=7 и цифры начнут повторяться.
Поскольку цифры повторяются через 4, а 1998 даёт остаток 2 при делении на 4, то последней цифрой 1997¹⁹⁹⁸ будет 9.

Построим такие таблицы для восьмёрки и для нуля:

Показатель	1	2	3	4	5
Последняя цифра	8	4	2	6	8

Отсюда, 1998¹⁹⁹⁹ оканчивается на 2

Показатель	1	2	3
Последняя цифра	9	1	9

А 1999²⁰⁰⁰ – на 1.

Четвёртое слагаемое, понятно, оканчивается нулём. Итого 9+2+1+0=12, значит, последней цифрой будет 2.
Ответ Б:2;

Задача 65
Поскольку солнечные дни относятся к пасмурным как 1:4, то солнечных было 30/5=6, а пасмурных – 24. Т.к. тёплые дни относятся к холодным как 1:5, то тёплых было 30/6=5, а холодных – 25.
Известно, что тёплых и солнечных дней было 3. Значит, 6-3=3 солнечных дня были холодными, а 5-3=2 тёплых дня было пасмурными.

Чтобы найти число холодных пасмурных дней, отнимем от общего количества дней (30) тёплые солнечные (3), холодные солнечные (3) и тёплые пасмурные (2). Итого 30-3-3-2=22 холодных пасмурных дня.
Ответ Б: 22;

Задача 66
Чтобы найти сумму денег у Марии и Полы, сложим деньги Полы и Билла с деньгами Джона и Марии, и отнять от результата деньги Билла и Джона.
Получаем: 18+10-12=16 (грн)
Ответ А: 16;

Задача 67.
Можно заметить, что в заданном числе будет повторяться группа цифра 1232. Т.к. общее количество цифр, 2002, даёт остаток 2 при делении на 4, то число будет оканчиваться на …123212 и последними тремя цифрами будут 212.
Ответ Г: 212;

<Назад|Далее>