Первая открытая Интернет-олимпиада по математике

Представляем первую открытую Интернет-олимпиаду проекта “Приглашение в мир математики”. Участие в ней – это хорошая возможность поддержать себя в форме перед оффлайновыми олимпиадами, испытать удовольствие от решения красивых задач и получить повод для гордости, показывая друзьям своё имя в списке победителей.

Задание олимпиады состоит из семи задач, правильное решение каждой задачи оценивается в 7 баллов. Присылайте решения по адресу: intelmath@narod.ru
Подведение итогов олимпиады состоялось 2 марта 2010 года.

Сейчас идёт Вторая открытая интернет-олимпиада

1.Игра со спичками
В двух коробках лежат спички.

Два игрока делают ходы по очереди. За один ход можно:

а) забрать одну спичку из первой коробки, или
б) забрать по одной спичке из обеих коробок, или
в) забрать две спички из второй коробки, или
г) переложить одну спичку из второй коробки в первую.

Выигрывает тот, кто оставляет обе коробки пустыми.

Кто (игрок, начинающий игру, или его соперник) выиграет, если игроки не делают ошибок и вначале в первой коробке 20 спичек, а во второй десять?

Решение задачи

2.Пять квадратов
Число 2010 представляется в виде суммы пяти последовательных квадратов:
2010=18²+19²+20²+21²+22²

Наименьшее число, которое можно представить в виде суммы пяти последовательных натуральных квадратов – число 55:
55=1²+2²+3²+4²+5².

Необходимо разработать метод, позволяющий отличить числа, представимые виде суммы пяти последовательных натуральных квадратов от остальных.

Решение задачи

3.Увеличение числа
Если в натуральном числе, не делящемся на 10, перенести предпоследнюю цифру на первое место, оно увеличится в n>1 раз. Для каждого натурального n, для которого такое возможно, приведите пример искомого числа.

Решение задачи

4.Простая дробь
Согласно справочнику Гугла, 1 фунт равен 0,45359237 килограмма. Найдите простую дробь с минимальными числителем и знаменателем, значение которой отличается от этой десятичной дроби менее, чем на 2*10^-5

Решение задачи

5.Камень, Ножницы, Бумага
В игре «камень-ножницы-бумага» есть три фигуры. Камень считается сильнее Ножниц, Ножницы – сильнее Бумаги, а Бумага – сильнее Камня.

При игре вдвоём оба игрока одновременно выбрасывают на пальцах одну из фигур и, если они различны, определяется победитель. Если же выброшенные фигуры одинаковы – следует ещё одно выбрасывание, и так до выявления победителя.

При игре втроём игроки одновременно выбрасывают одну из фигур, и:

• Если все три фигуры различны, или все они одинаковы, следует перебрасывание;
• Если один игрок выбросил более сильную фигуру, а два других – одинаковую, более слабую, то этот игрок объявляется победителем;
• Если один игрок выбросил более слабую фигуру, а два других – одинаковую, более сильную, то далее следует определение победителя из этих двоих.

Сколько в среднем нужно провести выбрасываний (т.е. каково математическое ожидание этого числа), чтобы определить победителя среди троих игроков?

Решение задачи

6.Что дальше?
У чисел из этой последовательности есть одно общее свойство. Продолжите её.
5, 7, 11, 13, 15, 19, 21, 29, 31, …

Решение задачи

7.Самоописывающее равенство
Равенство 1+2=3 интересно тем, что первое его слагаемое равно общему количеству чётных цифр, использованных в равенстве, второе слагаемое равно общему количеству нечётных цифр в нём, а сумма равна общему количеству цифр в этом равенстве.

Составьте равенство
A+B+C+D+E+F+G+H+I+J=K, где:

• Слагаемое A равно общему количеству нулей в этом равенстве;
• Слагаемое B равно общему количеству единиц в этом равенстве;
• Слагаемое C равно общему количеству двоек
• и т.д.
• Слагаемое J равно общему количеству девяток, а
• Сумма K равна общему количеству цифр в этом равенстве.

Решение задачи

Удачи!!!