Первая открытая Интернет-олимпиада по математике

Условие задачи

В игре «камень-ножницы-бумага» есть три фигуры. Камень считается сильнее Ножниц, Ножницы – сильнее Бумаги, а Бумага – сильнее Камня.

При игре вдвоём оба игрока одновременно выбрасывают на пальцах одну из фигур и, если они различны, определяется победитель. Если же выброшенные фигуры одинаковы – следует ещё одно выбрасывание, и так до выявления победителя.

При игре втроём игроки одновременно выбрасывают одну из фигур, и:

• Если все три фигуры различны, или все они одинаковы, следует перебрасывание;
• Если один игрок выбросил более сильную фигуру, а два других – одинаковую, более слабую, то этот игрок объявляется победителем;
• Если один игрок выбросил более слабую фигуру, а два других – одинаковую, более сильную, то далее следует определение победителя из этих двоих.

Сколько в среднем нужно провести выбрасываний (т.е. каково математическое ожидание этого числа), чтобы определить победителя среди троих игроков?

Решение

Разберём вначале игру двух игроков. В ней всего возможны 9 различных комбинаций фигур. В трёх случаях фигуры будут одинаковыми (К-К, Н-Н или Б-Б) и потребуется перебрасывание, а в шести остальных случаях – партия закончится.

Пусть математическое ожидание длины партии двух игроков (среднее количество выбрасываний) равно М. Тогда после первого выбрасывания с вероятностью  партия закончится и её длина составит 1 ход, а с вероятностью  начнётся новая партия, длина которой будет М (от начала же исходной партии пройдёт М+1 шаг. Получаем уравнение:

М=1,5

Итак, чтобы определить победителя среду двух игроков, нужно в среднем полтора хода.

Теперь рассмотрим случай с тремя игроками. Пусть математическое ожидание её длины равно М. Среди 27 возможных исходов первого выбрасывания:
9 ведут к новой партии с тремя игроками;
9 – к новой партии с двумя игроками
9 – к завершению партии первым ходом.

Получаем уравнение:

Отсюда  и M=2,25.

Значит, в среднем для определение победителя из троих игроков нужно два хода с четвертью.

<4.Простая дробь | 6.Что дальше?>