Первая открытая Интернет-олимпиада по математике

Условие задачи

Число 2010 представляется в виде суммы пяти последовательных квадратов:
2010=18²+19²+20²+21²+22²

Наименьшее число, которое можно представить в виде суммы пяти последовательных натуральных квадратов – число 55:
55=1²+2²+3²+4²+5².

Необходимо разработать метод, позволяющий отличить числа, представимые виде суммы пяти последовательных натуральных квадратов от остальных.

Решение
Рассмотрим 5 последовательных натуральных чисел: n-2, n-1, n, n+1, n+2 (n>2). Сумма их квадратов равна (n-2)² + (n-1)² + n² + (n+1)² + (n+1)² = n² – 4n +4 +  n²-2n+1 + n² + n²+2n+1 + n²+4n+4 = 5n² + 10 = 5(n²+2).

Следовательно, числа, являющиеся суммами пяти последовательных натуральных квадратов, делятся на 5, и если от частного отнять 2, получим полный квадрат числа, большего двух.

<1. Игра со спичками | 3. Увеличение числа>