Первая открытая Интернет-олимпиада по математике

Условие задачи

У чисел из этой последовательности есть одно общее свойство. Продолжите её.
5, 7, 11, 13, 15, 19, 21, 29, 31, …

Решение

Разумеется, придумывая эту последовательность я позаботился, чтобы её не оказалось в онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей.

Составлялась она по следующему принципу: эти числа, будучи записаны в троичной системе счисления, будут иметь сумму цифр 3 (или, то же самое, эти числа представляются в виде суммы ровно трёх степеней тройки).
12, 21, 102, 111, 120, 201, 210, 1002, 1011, 1020, 1101, 1110, 1200, …
Следовательно, продолжением будут числа ..., 33, 37, 39, 45, …

Это свойство разгадали участники форума sciteclibrary.ru Robot063, venco, CD_Eater_, а также Ian с e-science.ru.

Засчитывались также другие интересные решения, из которых стоит упомянуть:
1) Берём последовательность простых чисел, начиная с 5: 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …
Далее пробегаем эту последовательность и её i-е члены, если i уже содержится в последовательности, уменьшаем на 2. Так мы получаем 5, 7, 11, 13, 15, 19, 21, 29, 31, 37, 39, 43, 45, … (Это свойство заметили kinder со smekalka.pp.ru и Денис Андреев)

2) Запишем подряд числа Фибоначчи 1,1,2,3,5,8,13,... в двоичном виде. Получим битовую строку 11101110110001101..., Обозначим y_k - номер позиции, где стоит k-ая по счёту единица в этой строке. Тогда члены последовательности x_n выражаются как x_n = 2*y_n+1 + 1. (Это свойство, помимо загаданного, обнаружил CD_Eater_ со sciteclibrary.ru)

3) Рассмотрим последовательность квадратов 4, 9, 16, 25, 36, 49, …
Если рассмотреть два последовательных квадрата и числа загаданной последовательности, стоящие между ними, можно заметить любопытное совпадение. Модули разностей между числами последовательности и квадратами являются последовательными числами. Пример:

4, 5, 7, 9:
|4-5|=1, |9-7| = 2, |4-7| = 3, |9-5| = 4.

9, 11, 13, 15, 16:
|16-15|=1, |9-11| = 2, |16-13| = 3, |9-13| = 4, |16-11| = 5, |9-15| = 6.

В следующей группе между 16 и 25 будут разности 3, 4, 5, 6.

Для соблюдения закономерности, разности в следующей группе должны быть 3, 4, 5, 6, 7, 8, значит, следующее число должно быть 33.

Это свойство нашёл shish со sciteclibrary.ru

4) Ещё одно любопытное совпадение. В четвёрках 5, 7, 11, 13 и 13, 15, 19, 21 суммы крайних членов равны сумме внутренних. Поэтому логично предположить, что тройка 21, 29, 31, … закроется числом 39, чтобы это свойство сохранилось. (Знаковян Семён (*ALEX ALKIN*))

5) Предлагалось также рассмотреть попарные разности между известными членами последовательности: 2, 4, 2, 2, 4, 2, 8, 2 и или последней двойкой открыть новый цикл (2, 4, 2, 2, 4, 2, 8) (Наталия Макарова) или продолжить её по другому принципу, основываясь на том, что все разности - степени двойки (Денис Андреев), или устанавливались иные взаимоотношения (Мария Кирпа).

<5.Камень, Ножницы, Бумага | 7.Самоописывающее равенство>