Первая открытая Интернет-олимпиада по математике

Условие задачи

Равенство 1+2=3 интересно тем, что первое его слагаемое равно общему количеству чётных цифр, использованных в равенстве, второе слагаемое равно общему количеству нечётных цифр в нём, а сумма равна общему количеству цифр в этом равенстве.

Составьте равенство
A+B+C+D+E+F+G+H+I+J=K, где:

• Слагаемое A равно общему количеству нулей в этом равенстве;
• Слагаемое B равно общему количеству единиц в этом равенстве;
• Слагаемое C равно общему количеству двоек
• и т.д.
• Слагаемое J равно общему количеству девяток, а
• Сумма K равна общему количеству цифр в этом равенстве.

Решение

Хотя в условии требовалось получить одно самоописывающее равенство, на самом деле таких равенств существует два: 5+3+2+1+0+1+0+0+0+0=12 и  5+4+1+0+1+1+0+0+0+0=12 

Наиболее полное доказательство этого прислал Ian с e-science.ru, приведём основные моменты оттуда:

Слева и справа не менее 11 цифр, тогда К не менее чем двузначно и цифр не менее 12: . Пусть К n-значно, тогда все числа не более чем n-значны и . Решая неравенство  , получаем  следовательно .

Если бы слева более двух чисел были двузначными, то их сумма не менее 30 – равенство невозможно. Значит, число цифр слева не больше 12 и К не больше 14.

Тогда для соблюдения равенства только одно число слева может быть двузначным и . Но если K=13 , одно из чисел слева двузначно, а сумма остальных слева –-не более 3.Значит, нулей там не менее 6 и двузначно именно А. Справа нулей нет, в А не более одного нуля, значит остальные 9 нулей описываемых А - это числа от B до J включительно. Получаем 10+0+..+0=13 -неверное и несамоописывающее.

Значит, К=12 и слева все числа однозначные.
Поскольку в числе К выражении уже есть единица и двойка, то В и С не менее 1 каждое. Более того, при В=1 равенство не будет самоописывающим, так что B2. Так как слева уже найдено 3 ненулевых слагаемых: А, В, С из 10ти, то А не более 7. Поэтому I=J=0

Учитывая это, Рассмотрим уравнение:
A+B+C+D+E+F+G+H =12   (*)

Слева А нулей, В-1 единица (одна - справа в числе 12), С-1 двойка (аналогично), D троек, E четвёрок и т.д. Значит:
(B-1)+2(C-1)+3D+4E+5F+6G+7H=12
B+2C+3D+4E+5F+6G+7H=15         (**)

Отняв от этого равенства (*), получим:
C+2D+3E+4F+5G+6H=3+A (***)

Проведём оценку равенства (**)
15=B+2C+3D+4E+5F+6G+7H 2+2+3D+4E+5F+6G+7H
3D+4E+5F+6G+7H11        (****)

При А=7:
Из (*): B+C+D+E+F+G+H=5
Из (***): C+2D+3E+4F+5G+6H=10
слагаемое Н, указывающее на количество семёрок, должно быть равно 1
B+C+D+E+F+G =4
C+2D+3E+4F+5G=4
А также из (****):
3D+4E+5F+6G4

Данным уравнениям и неравенству удовлетворяет только такой набор значений, не являющийся самоописывающим.

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K
7	2	1	0	1	0	0	1	0	0	12

Значит Н=0

При А=6:

Из (*): B+C+D+E+F+G=6
Из (**): C+2D+3E+4F+5G=9
Значит G=1:
B+C+D+E+F =5
C+2D+3E+4F+5G=3
А также из (****):
3D+4E+5F 5

Получается набор:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K
6	3	1	1	0	0	1	0	0	0	12

Если бы нулей было не 5, а 6, решение было бы найдено, а так мы убеждаемся, что G=0.

При А=5:
Из (*): B+C+D+E+F =7
Из (**): C+2D+3E+4F=8
Т.к. С , то F=1 и
B+C+D+E =6
C+2D+3E=4
3D+4E 6
Можем получить варианты:
E=1 =>D=0 => C=1 => B=4

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K
5	4	1	0	1	1	0	0	0	0	12

Эта конструкция будет самоописывающей.
E=0 =>D=1 => C=2 => B=3

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K
5	3	2	1	0	1	0	0	0	0	12

И эта будет самоописывающей.

Пусть

Тогда сумма B+C+…+J

тогда среди 6 чисел E,F,..J есть два ненулевых. Два случая:

а) Это Е и F, тогда либо   -> => (противоречие), либо 4=А. Если 5 не В, то .

Значит,A=4, B=5, E=1, F=1, тогда, чтобы сумма не превысила 12, С должно быть ровно 1 и приходим к равенству 4+5+1+0+1+1+0+0+0+0=12. но оно не самоописывающее.

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K
4	5	1	0	1	1	0	0	0	0	12

б) Второй случай: в левой части есть не меньше чем шестерка и не меньше чем четверка. Тогда либо   => => противоречие, либо 4=А.Тогда А+6+(еще 4 ненулевых числа, т.к нулевых слева всего 4) не меньше 14. Противоречие.

Таким образом, существует два самоописывающих равенства, удовлетворяющих условие задачи. Это
5+3+2+1+0+1+0+0+0+0=12
и
5+4+1+0+1+1+0+0+0+0=12

Кстати, любителям самоописывающих структур будет интересен целый самоописывающий текст.

<6.Что дальше? | Победители олимпиады>