Первая открытая Интернет-олимпиада по математике

Условие задачи

Если в натуральном числе, не делящемся на 10, перенести предпоследнюю цифру на первое место, оно увеличится в n>1 раз. Для каждого натурального n, для которого такое возможно, приведите пример искомого числа.

Решение
Аналогично решению задачи про перестановку последней цифры, запишем искомое число X как X = 100Y+10a+b.
Тогда условие запишется в виде уравнения n(100Y + 10a + b) = 10^ka+10Y+b, где:
n – искомый множитель;
а – предпоследняя цифра числа;
b – последняя цифра числа;
Y – число, состоящее из всех остальных цифр искомого числа (в нём должно быть ровно k-1 цифра).

Преобразовывая данное выражение, получим:

Попробуем уменьшить количество неизвестных. Для начала заметим, искомое число не меняет последней цифры при умножении на n. Такое будет возможно только для следующих пар (n,b): (3,5); (5,5); (6,2); (6,4); (6,6); (6;8); (7,5); (9,5).

Подставляем значения n и b из первой пары:

Перебирая остатки от деления степеней 10 на 29 находим, что это число будет целым, например, при a=3 и k=3. Это даст нам решение
1035х3=3105

Для n=5, b=5 получаем:

Значения k=15, a=4 дают нам целое Y, но в нём будет 13 цифр

А вот при k=38, a=6 в частном получится 37-ми значное число и мы получим выражение
122448979591836734693877551020408163265х5=
= 62244897959183673469387755102040816325

Для n=6 получаем результаты для всех возможных значений b, достаточно небольшое выйдет, если взять b=8, тогда a=7, k=9
6x1186440678=7118644068

Для n=7, b=5

7x101449275=710144925

И, наконец, при n=9, b=5 также получается относительно небольшое число:
9x101123595=910112355

А вообще вследствие периодичности остатков от деления, чисел с заданными свойствами – бесконечно много.

<2. Пять квадратов | 4.Простая дробь>