Задача о четырёх точках

Задача

На плоскости даны четыре точки. Известно, что шесть попарных расстояний между ними принимают только два различных значения. Какие конфигурации могут образовывать эти точки и каким будет отношение между двумя различными расстояниями?

Впервые я узнал про эту задачу на ежемесячном конкурсе IBM Ponder This, решил её и вскоре с гордостью обнаружил своё имя в списке победителей. А через некоторое время увидел её в сборнике всесоюзных олимпиад где-то за 1936 год. Собственно, задача хороша тем, что проста для понимания и достаточно нетривиальна для разбора. Ниже привожу собственный вариант решения, который я отправлял в IBM. Если вы не торопитесь глядеть в ответ (похвально!), но хотите проверить, все ли вы конфигурации нашли, могу сообщить, что их должно быть 6 (или 9, если ещё кое о чём вспомнить)

Решение

Рассмотрим 3 различных случая:

1. 5 расстояний равны a и шестое расстояние равно b. Тогда обязательно найдётся равносторонний треугольник со сторонами, равными a. Расстояния от четвёртой точки до двух вершин треугольника должно также равняться a, и вместе с отрезком, соединяющим эти две вершины, получится ещё один равносторонний треугольник. Точка D должна лежать в другой полуплоскости относительно BC, чем точка A. Мы получаем ромб со сторонами и одной диагональю a, тогда длина шестого отрезка b= (рис.1)



Рис.1 Ромб

2. Есть четыре равных отрезка одной длины и 2 равных другой длины. Рассмотрим два случая:
   1. Существует равносторонний треугольник со сторонами, равными a. Тогда четвёртая точка должна лежать на пересечении окружности радиусом a с центром в одной из вершин равностороннего треугольника и срединным перпендикуляром к противоположной стороне. (рис.2) Точек пересечения будет две, получаем две возможных конфигурации: ABCD1, где b= (рис.3) и ABCD2, где b= (рис.4) Последнюю формулу можно преобразовать таким образом::
   2. Конфигурация не содержит равностороннего треугольника. Тогда в ней не будет существовать равнобедренного треугольника с боковыми сторонами равными b, поскольку в противном случае четвёртая точка вместе с вершинами основания равнобедренного сформирует равносторонний треугольник со сторонами a. Таким образом, рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB=AC=a и BC=b. Для четвёртой точки, D: AD=b, BD=a, CD=a. Точка D будет расположена по другую сторону от CD, чем точка А, так что она полностью определена и решение в таком случае будет лишь одно. В четырёхугольнике ABDC все стороны и диагонали равны, так что это квадрат. Итак, b= (рис.5)

    

   

   Рис.2. Находим точки пересечения

   

   Рис.3. Верхняя точка пересечения

   

   Рис.4.Нижняя точка пересечения

   

   Рис.5.Квадрат

   1. Три расстояния между точками равны a а другие три 3 равны b. Рассмотрим два случая:
   1. Существует равносторонний треугольник Тогда расстояния от четвёртой точки до каждой из трёх равны, следовательно, она лежит в центре описанной окружности этого треугольника. b= или (рис.6)
   2. Равностороннего треугольника нет. Тогда и ни из какой точки не могут выходить три равных отрезка. Выходит, будут две цепочки из равных отрезков. Пусть AB=BC=CD=a, тогда BD=AD=AC=b. прежде всего нужно определить расположение точки D относительно треугольника ABC. Пусть точка D находится внутри треугольника. Тогда треугольники ABC и BCD равны =>  - противоречие. (рис.7) Таким образом, точка D лежит вне треугольника ABC. Аналогично может быть доказано, что ни одна из точек не лежит внутри треугольника, образованного остальными тремя, а это значит, что они лежат в вершинах выпуклого четырёхугольника. Длины его сторон могут быть: aaab или abab. Вариант aabb невозможен, поскольку тогда две стороны и диагональ образуют равносторонний треугольник.
      1. abab – это параллелограмм. Но большая диагональ параллелограмма больше его самой длинной стороны, так что условию задачи этот случай не удовлетворяет
      2. aaab – треугольники ACD и BCD равны, их высоты также равны, значит AB||CD и мы имеем дело с трапецией. Пусть угол ADC=x градусов. Тогда DAB=180-x и ADB=ABD=x/2. Следовательно BDC=x/2 и DBC=DCB=90-x/4. Но ADC=DCB, выходит x=90-x/4 и x=72 градуса. ADC=DCB=72 градуса и DAB=ABC=108 градусов. Эта трапеция представляет собой часть правильного пятиугольника со стороной a, и диагональю b у которого отрезали одну вершину. Отношение диагонали к стороне в правильном пятиугольнике равно , так что b= (рис.8)

      

      Рис.6.Центр описанной окружности

      

      Рис.7.Противоречие

      

      Рис.8.Трапеция

   Поскольку расстояние, равное нулю – тоже расстояние, то добавляется ещё 3 варианта расположения точек согласно условию задачи:.

   1.  ABC: тогда AB=AC=BC=0 и AD=BD=CD=a
   2. AB и CD тогда AB=CD=0 и AC=AD=BC=CD=a
   3. AB: тогда A, C, D должны образовывать равносторонний треугольник и AB=0 и AC=AD=BC=BD=CD=a. (рис.9)

   

   Рис.9. Совпадающие точки

   Подведём итог:

   Количество коротких расстояний, Количество длинных расстояний, Отношение между длинными и короткими расстояниями
   5          1          1:sqrt(3)
   4          2          1:sqrt(2+sqrt(3))
   2          4          1:sqrt(2+sqrt(3))
   4          2          1:sqrt(2)
   3          3          1:sqrt(3)
   3          3          1:(1+sqrt(5))/2
   С совпадающими точками
   3          3          0:любое
   2          4          0: любое
   1          5          0: любое