Всеукраинская олимпиада по математике, III этап 2010 год

Задача 1. Рассмотрим четырёхзначное число, а также четырёхзначное число, записанное этими же цифрами, но в обратом порядке. Какое наибольшее количество цифр 5 может иметь в своей десятичной записи модуль разности этих чисел?

Задача 2. Решите уравнение

Задача 3. Внутри квадрата ABCD выбрана точка О. Квадрат A`B`C`D` - образ квадрата ABCD при гомотетии с центром в точке О и коэффициентом k>1 (Точки A`, B`, C`, D` являются образами точек A, B, C, D соответственно). Докажите, что сумма площадей четырёхугольников A`ABB` и C`CDD` равна сумме площадей четырёхугольников B`BCC` и D`DAA`.

Задача 4. Действительные числа x,y,z удовлетворяют условию:

Докажите,, что одно из них является средним арифметическим двух других.

Задача 5. Учительница рассадила за круглым столом своих учеников, среди которых мальчиков было втрое меньше, чем девочек. Оказалось, что среди всех пар учеников, сидящих рядом, пар детей одного пола вдвое больше, чем пар детей разного пола. При каком минимальном количестве детей за столом такое могло случиться?

<Задачи для 9 класса | Задачи для 11 класса>