Всеукраинская олимпиада по математике, III этап 2010 год

Задача 1. В выражении

некоторым образом расставили скобки и вычислили значение полученного выражения. Какое наибольшее значение могло быть получено?
Примечание. Скобку вида “(” можно ставить только перед числом, а скобку вида “)” – только после числа, поэтому выражения вида -2010(-2009-2010) и -(2010-2009-)2010 не допускаются.

Задача 2. Олеся и Андрей бросают по одному разу стандартный игральный кубик. Найдите вероятность того, что количество очков у Олеси будет больше количества очков, выпавших у Андрея.

Задача 3. При каких натуральных n среди чисел n, n+1, n+2,…,n^2 можно выбрать 4 попарно различных числа a,b,c,d, для которых выполняется равенство ab=cd?

Задача 4. В остроугольном треугольнике АВС точки M и N – середины сторон АВ и АС соответственно. Докажите, что для произвольной точки S, лежащей на стороне ВС, выполняется условие:

Задача 5. Существуют ли такие попарно различные натуральные числа , большие единицы, для которых выполняется равенство:

а) если k=2;
б) если k=12;

<Задачи для 7 класса | Задачи для 9 класса>