Решения задач пробного тестирования (ЗНО) по математике 2012 года. Задания 25-28

Задание 25. Многочлены
Упростите выражение 2(a² - 5ab + 4b²) - 3(2a² - 2ab + 3b²) и вычислите его значение, если a = 1,1, b = 0,8

Решение
2(a² - 5ab + 4b²) - 3(2a² - 2ab + 3b²) = 2a² - 10ab + 8b² - 6a² + 6ab - 9b² = -4a² - 4ab - b² = -(2a + b) ² = -(2,2 + 0,8) ² = -9

Ответ: -9


Задание 26. Иррациональные уравнения
Решите уравнение .
Если у уравнения 1 корень, запишите его в ответ. Если корней больше – укажите произведение всех корней. Если у уравнения нет корней, запишите в ответ число 100.


Решение
Находим ОДЗ: x > 2 и x > -0,5. Сильнейшее из этих неравенств x > 2.
Теперь можно возвести обе части в квадрат:
(x - 2)(2x + 1) = 3
2x² – 3x – 2 = 3
2x² – 3x – 5 = 0
Хотя уравнение и неприведённое, его тоже можно решить, задействовав теорему Виета. Получаем x₁ = -1, не входит в ОДЗ, а x₂ = 2,5 – подходит.


Ответ: 2,5 Задание 27. Наибольшее значение функции.
Найдите наибольшее значение функции y = 12x - x³ на отрезке [0; 3].

Решение
Функция – многочлен, разрывов не имеет, поэтому сначала возьмём производную.
y’ = 12 - 3x²
Приравняем её к нулю:
12 - 3x² = 0
3x² = 12
x² = 4
x₁ = -2
x₂ = 2

Промежутку принадлежит только x₂. Поэтому нам надо проверить значение функции в трёх точках: в ней и на краях промежутка.
y(0) = 0
y(2) = 24 – 8 = 16
y(3) = 36 – 27 = 9.

Наибольшим значением будет 16. Кстати, края можно было и не проверять, если, взяв вторую производную, убедиться, что в точке x = 2 именно максимум.

Ответ: 16


Задание 28. Комбинаторика
Сколько всего существует разных двузначных чисел, у которых первая цифра чётная, а вторая – нечётная?

Решение
Первой цифрой может быть: 2, 4, 6 или 8. Всего 4 варианта. Второй цифрой может быть: 1, 3, 5, 7, 9 – итого 5 вариантов. Значит, их комбинаций будет 4х5 = 20.

Ответ: 20

<Назад | Далее>