Свойства числа 2010

Близится новый, 2010 год. Это значит, что с большой степенью вероятности, число 2010 будет фигурировать в условиях задач олимпиад по математике. Рассмотрим некоторые свойства этого числа и интересные факты, связанные с ним.

• Число 2010 раскладывается на простые множители следующим образом. 2010=2*3*5*67
• Всего у числа 2010 16 делителей. Это числа 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30, 67, 134, 201, 335, 402, 670, 1005 и 2010
• Число 2010 представляется в виде суммы двух простых чисел 84-мя способами. Например, 2010=7+2003=11+1999=13+1997=…=991+1019
• Представимо оно и в виде разности простых чисел, например: 2010=2017-7=2027-17=2029-19 и т.д.
• Ни в виде суммы, ни в виде разности двух квадратов число 2010 не представляется.
• Нельзя его получить и в виде суммы или разности двух кубов.
• Чтобы получить число 2010, нужно три квадрата:
  
• Или пять кубов:
  
  Первый способ замечателен тем, что в нём все основания кубов различны.

• Сумма всех натуральных чисел от 1 до 2010 равна 2021055. Её можно вычислить, умножив 2010 на следующее за ним число, 2011, и разделив произведение на 2.
• Если перемножить все натуральные числа от 1 до 2010, полученное произведение будет содержать 5769 цифр. Заканчивается факториал числа 2010 на 501 ноль.
• Восемью способами число 2010 представляется в виде разности треугольных чисел
  
  
  Треугольные числа – это числа вида
• Существует 22 тройки треугольных чисел, каждая из которых в сумме даёт число 2010 например:
  
• Дробь  представляется в виде суммы двух дробей с числителями, равными единице, 41-м способом:
  
• А для представления этой дроби в виде разности существует 40 способов:
  
• Луна удаляется от Земли со скоростью примерно 4 см в год. За 2010 лет расстояние до неё выросло на 80 метров 40 сантиметров.
• Если бы 2010 лет назад положили в банк сумму, эквивалентную 1 доллару всего под 1% годовых, сейчас на счету было бы 480 миллионов 440 тысяч 852 доллара 96 центов.
• Древние римляне записывали число 2010 так: ММХ
• Древние греки так:
• У древних египтян оно выглядело так:
• А на Руси то же самое число записывали таким образом:
• В двоичной системе число 2010 записывается как 11111011010
• Если начать с числа 2010 сиракузскую последовательность, будем получать числа 1005, 3016, 1508 и т.д. и придём к единице за 68 шагов.
• Пожалуй, самое интересное свойство числа 2010 (жалею, что его нашёл не я). Это число является произведением девятнадцатого простого числа и девятнадцатого составного.
• David, пользователь сервиса Blogger, кроме предыдущего, нашёл ещё одно замечательное свойство: число 2010 представляется в виде суммы квадратов пяти последовательных натуральных чисел. Каких? Пусть это будет небольшим упражнением для наших уважаемых читателей :)