Свойства числа 2011

По традиции в начале нового года приведём некоторые интересные свойства числа 2011, которые могут оказаться полезными при подготовке к олимпиаде по математике.

• Число 2011 является простым, т.е. делится только на единицу и на само себя.
• Ни в виде суммы, ни в виде разности простых чисел оно не представляется.
• В виде разности квадратов число 2011 вследствие своей простоты представляется единственным способом: 2011²=1006²-1005²
• В виде суммы двух квадратов его не представить. А в виде суммы трёх квадратов оно представляется четырьмя способами: 2011=29²+27²+21² = 33²+29²+9² = 39²+21²+7² = 43²+9²+9²
• Нельзя число 2011 получить в виде суммы или разности двух кубов.
• Чтобы получить число 2011 в виде суммы кубов, необходимо целых 6 слагаемых. И сделать это можно шестью способами: 2011=9³+8³+8³+5³+5³+2³ = 10³+9³+6³+4³+1³+1³ = 10³+10³+2³+1³+1³+1³ = 11³+8³+5³+3³+2³+2³ = 12³+4³+4³+4³+4³+3³ = 12³+6³+4³+1³+1³+1³;
• Число 2011, кроме того, что само простое, является суммой одиннадцати последовательных простых чисел. 2011 = 157 + 163 + 167 + 173 + 179 + 181 + 191 + 193 + 197 + 199 + 211
• Квадрат палиндрома числа 2011 равен палиндрому его квадрата. 2011² = 4044121, записав наоборот, получаем 1214404. Записав число 2011 наоборот, получим 1102, а 1102² = 1214404.
• Число 2011, умноженное на свой палиндром, 1102, даёт число 2216122, которое является палиндромом для самого себя, т.к. читается одинаково как слева направо, так и справа налево.
• Число 2011 можно представить в виде суммы двух треугольных чисел двумя способами: 2011 = T₅₈ + T₂₄ = 1711 + 300 и 2011 = T₆₁ + T₁₅ = 1891 + 120.
• И в виде разности треугольных чисел его можно представить всего двумя способами: 2011 = T₁₀₀₆ - T₁₀₀₄ = T₂₀₁₁ - T₂₀₁₀

• В системах счисления от двоичной до девятеричной число 2011 выглядит так:
  • (2011)₂ = 11111011011
  • (2011)₃ = 2202111
  • (2011)₄ = 133123
  • (2011)₅ = 31021
  • (2011)₆ = 13151
  • (2011)₇ = 5602
  • (2011)₈ = 3733
  • (2011)₉ = 2674
• Оказывается, что если записать все эти представления подряд (дописав и само число 2011) и рассматривать результат его как записанное в десятеричной системе, это число будет простым!
  11111011011220211113312331021131515602373326742011 - простое.
• Из интернет-энциклопедии целочисленных последовательностей можно почерпнуть и другие интересные простые числа, связанные с числом 2011. К примеру, числа 2*2011-3=4019 и 2*2011-1=4021 являются простыми числами близнецами.
• Следующим простым за числом 2011 будет число 2017. За ним идёт 2027. Так вот, если мы сформируем из этих трёх чисел одно: 201120172027, то оно также будет простым!
• Если перед числом 2011 записать 51 единицу, полученное 55-значное число 1111111111111111111111111111111111111111111111111112011 будет простым.
• Ещё большее простое число, связанное с 2011, имеет вид 11x10²⁰¹¹-1
• Число 2011 можно получить как среднее арифметическое 481-го простого и 481-го составного чисел. 2011=(3433+589)/2
• Существует 2 способа представления дроби в виде суммы и один - в виде разности аликвотных дробей (т.е. дробей с числителем, равным единице). Это, опять-таки, из-за простоты числа 2011.
• Период дроби имеет 670 цифр.
• Сумма всех натуральных чисел от 1 до 2011 равна 2023066.
• Если перемножить все натуральные числа от 1 до 2010, полученное произведение будет содержать 5772 цифры. Заканчивается факториал числа 2011 на 501 ноль.
• 2011-е простое число равно 17483, а 2011-е составное равно 2362.
• Если начать с числа 2011 сиракузскую последовательность, будем получать числа 6034, 3017, 9052 и т.д. и придём к единице за 43 шагов. Наивысшее достигнутое число будет 15280.
• При преобразовании Капрекара число 2011 приходит к стационарному состоянию за 4 шага: 2110-112=1998; 9981-1899=8082; 8820-288=8532; 8532-2358=6174; 7641-1467=6174.