Число 142857 и подобные ему

Число 142857 часто фигурирует в числовых фокусах «быстрого умножения» или в списках чисел с занимательными свойствами. И есть отчего. Ведь произведения этого числа на 2, 3, 4, 5 и 6 получаются из исходного циклической перестановкой цифр:

142857x2 = 285714
142857x3 = 428571
142857x4 = 571428
142857x5 = 714285
142857x6 = 857142

Почему же это число такое особенное? Всё проясняется, если умножить 142857 на 7:
142857x7 = 999999

А это значит, что 0,(142857)x7 = 0,(9) = 1 и число 142857 является периодом дроби .

Аналогичными свойствами обладают и другие периоды дробей , имеющие n-1 цифру. Следующим таким числом будет период дроби  число 0588235294117647:

588235294117647x2 = 1176470588235294
588235294117647x3 = 1764705882352941
588235294117647x4 = 2352941176470594
588235294117647x5 = 2941176470588235

588235294117647x6 = 3529411764705882
588235294117647x7 = 4117647058823529
588235294117647x8 = 4705882352941176
588235294117647x9 = 5294117647058823
588235294117647x10 = 5882352941176470
588235294117647x11 = 6470588235294117
588235294117647x12 = 7058823529411764
588235294117647x13 = 7647058823529411
588235294117647x14 = 8235294117647058
588235294117647x15 = 8823529411764705
588235294117647x16 = 9411764705882352

В отличие от первого, оно довольно громоздко. Не стоит его держать в памяти. А вот ещё одно число, проявляющее замечательные свойства при умножении запомнить очень легко – это так называемое «число без восьмёрки», 12345679. В его произведениях на числа, не кратные трём все цифры различны:

12345679x1 = 12345679
12345679x2 = 24691358
12345679x4 = 49382716
12345679x5 = 61728395
12345679x7 = 86419753
12345679x8 = 98765432
12345679x10 = 123456790
12345679x11 = 135802469
12345679x13 = 160493827
12345679x14 = 172839506
12345679x16 = 197530864
12345679x17 = 209876543
12345679x19 = 234567901
12345679x20 = 246913580
12345679x22 = 271604938
12345679x23 = 283950617
12345679x25 = 308641975
12345679x26 = 320987654
12345679x28 = 345679012
12345679x29 = 358024691
12345679x31 = 382716049
12345679x32 = 395061728
12345679x34 = 419753086
12345679x35 = 432098765
12345679x37 = 456790123
12345679x38 = 469135802
12345679x40 = 493827160
12345679x41 = 506172839
12345679x43 = 530864197
12345679x44 = 543209876
12345679x46 = 567901234
12345679x47 = 580246913
12345679x49 = 604938271
12345679x50 = 617283950
12345679x52 = 641975308
12345679x53 = 654320987
12345679x55 = 679012345
12345679x56 = 691358024
12345679x58 = 716049382
12345679x59 = 728395061
12345679x61 = 753086419
12345679x62 = 765432098
12345679x64 = 790123456
12345679x65 = 802469135
12345679x67 = 827160493
12345679x68 = 839506172
12345679x70 = 864197530
12345679x71 = 876543209
12345679x73 = 901234567
12345679x74 = 913580246
12345679x76 = 938271604
12345679x77 = 950617283
12345679x79 = 975308641
12345679x80 = 987654320

Умножая число без восьмёрки на 81, получаем произведение, состоящее из одних девяток.
12345679x81 = 999999999
Это открывает нам секрет числа: 012345679 является периодом дроби