Вторая открытая Интернет-олимпиада по математике

Условие задачи

Найдите закономерность и вычислите сумму всех элементов последовательности

Решение

Сначала найдём закономерность. Понятно, что знаменатели представляют собой последовательные степени двойки.

Рассмотрим последовательность числителей и вычислим разности первого и второго порядка:

0, -1, -1, -1, 0, 2, 6, 13, 25

-1, 0. 0. 1, 2, 4, 7, 12

1, 0, 1, 1, 2, 3, 5

Можно заметить, что разности второго порядка – это последовательность Фибоначчи! Попробуем обнаружить некий рекуррентный закон среди разностей первого порядка.

-1, 0. 0. 1, 2, 4, 7, 12 - Здесь каждый последующий член на единицу больше суммы двух предыдущих. Это позволяет найти закономерность в исходной последовательности:

0, -1, -1, -1, 0, 2, 6, 13, 25 - ,если начинать с индекса, равного 1

Можно для неё вывести формулу общего члена и таким образом свернуть ряд, но можно заметить, что последовательность

0, -1, -1, -1, 0, 2, 6, 13, 25, …

представляет собой разность последовательностей Фибоначчи

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34

и натурального ряда

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Так что искомая сумма равна

Подробнее о том, как вычисляются эти суммы можно почитать в статье о суммировании бесконечных рядов.

<2. Стохастический Баше | 4. Карты>