Вторая открытая Интернет-олимпиада по математике

Условие задачи

Найдите четырёхзначное число, которое можно представить в виде суммы нескольких последовательных натуральных чисел наибольшим количеством способов.

Решение

Рассмотрим сумму k натуральных чисел, начиная с числа n.

Рассмотрим два случая: для чётного и нечётного k.

a) k=2p

S=p(2n+2p-1)

б) k=2p+1

S=(2p+1)(n+p)

Итак, число S, являющееся суммой нескольких последовательных натуральных чисел, должно делиться на некоторое нечётное число.

Попробуем по имеющемуся нечётному множителю числа S определить, как оно представляется в виде такой суммы.

Пусть S=(2m+1)r

Тогда в случае а) получим систему

2m+1=2n+2p-1

r=p

Откуда:

n=m–r+1

p=r

Чтобы решение имело смысл, необходимо, чтобы выполнялось неравенство

m>r+1

В случае б) имеем систему:

2m+1=2p+1

r=n+p

Получим:

p=m

n=r–m

Условие для m r в этом случае:

r>m

Поскольку для любых чисел m, r всегда истинно ровно одно из ограничений, то для каждого нечётного множителя числа S получим ровно одно представление его в виде суммы последовательных натуральных чисел.

Заметим, что при этом учитывается сумма и из одного слагаемого – само число S, соответствующая разложению S=1*S. Сумм же из нескольких слагаемых на одну меньше, чем нечётных делителей числа S.

Для четырёхзначного числа наибольшее количество нечётных делителей – 24, столько их будет, к примеру, в числе 3465=3*3*5*7*11.

Поэтому его можно представить в виде суммы нескольких последовательных натуральных чисел 23-мя способами (и ещё один способ, как уже было сказано – это «сумма» из одного слагаемого 3465)

Интересно, что, скажем, во французской математической традиции, к натуральным числам относится и число 0. Если допускать суммы с нулём, можно будет увеличить максимальное число способов на один. Для этого следует найти четырёхзначное треугольное число, имеющее 24 нечётных делителя. Одним из таких чисел будет 3*3*5*7*13=4095. Спасибо победителю олимпиады, Сергею Половинкину (e-science.ru) за интересное развитие сюжета задачи.

<5. Треугольник из отрезков | 7. Жук на ленте>