Вторая открытая Интернет-олимпиада по математике. Решение задачи 7. Жук на ленте

главная страница сайта Приглашение в мир математики

Условие задачи

Один конец резиновой ленты неподвижно закреплён, а за другой тянут с постоянной скоростью v. У неподвижного конца ленты находится жук, который начинает ползти вдоль неё со скоростью u. Когда жук доползёт до противоположного конца ленты, если начальная длина ленты равна L?

Решение

Обозначим отношение положения жука на ленте к общей длине ленту как f(t).

С растяжением ленты эта величина не меняется, она увеличивается лишь за счёт собственного движения жука со скоростью u.

В момент t длина ленты составит L+vt. За время dt величина f(t) прирастёт на величину

$df=\frac{udt}{L + vt}$

Таким образом,

$f(\tau)=\int\limits_{0}^{\tau} \frac{udt}{L + vt}=\frac{u}{v}\ln(L + vt)|_0^\tau=\frac{u}{v}\left(\ln(L + v\tau)-\ln L\right)=\frac{u}{v}\ln\left( 1 + \frac{v\tau}{L}\right)$

Поскольку, когда жук доползёт до конца ленты, значение f станет равным единице, нужно решить уравнение:

$\frac{u}{v}\ln\left( 1 + \frac{v\tau}{L}\right)=1$

$\ln\left( 1 + \frac{v\tau}{L}\right)=\frac{v}{u}$

$1 + \frac{v\tau}{L}=e^{\frac{v}{u}}$

$\tau=\frac{L}{v}\left(e^{\frac{v}{u}}-1\right)$

<6. Больше всего сумм | Победители олимпиады>

Задайте вопрос на блоге о математике