Задачи олимпиады Кенгуру, решения и ответы

Условия задач

Задача 11. Студент, 3й уровень, 2000 год
Какое наименьшее количество гирь необходимо, чтобы иметь возможность взвесить на чашечных весах любой груз массой от 1 до 10г? (Масса выражается только целым числом граммов и гири можно класть на обе чаши весов).
А:2; Б:3; В:4; Г:5; Д:10;

Задача 12. Юниор, 3й уровень, 2005 год
Сумма цифр натурального числа m равна 30. Чему не может равняться сумма цифр числа (m+3)?
А:6; Б:15; В:21; Г:24; Д:33;

Задача 13. Кадет, 3й уровень, 2004 год
В сумке более одного кенгуру. Первый кенгуру сказал "Нас здесь шестеро",- и выпрыгнул из сумки. Затем через каждую минуту один из оставшихся кенгуру говорил "Все, кто выпрыгнул передо мной, говорили неправду",- и также выпрыгивал. Сколько кенгуру сказали правду?
А:0; Б: 1; В: 2; Г: 6; Д: все;

Задача 14. Школьник, 3й уровень, 2006 год
Если кенгуру при прыжке оттолкнётся левой ногой, то прыгнет на 2 метра. Если оттолкнётся правой ногой, то длина прыжка составит 4м. Если же обеими ногами, то прыгнет на 7 метром. Какое наименьшее количество прыжков должен сделать кенгуру, чтобы проскакать ровно 1000м?
А:142; Б: 144; В: 250; Г: 500; Д: другой ответ;

Задача 15. Малыш, 3й уровень, 2003 год
В компании из пяти человек есть вруны, которые всегда говорят неправду, и честные, которые всегда говорят правду. Каждого из них спросили: "Сколько врунов в вашей компании?", на что были получены ответы: "один", "два", "три", "четыре" и "пять". Сколько на самом деле врунов в этой компании?

А:1; Б:2; В:3; Г:4; Д:5;

Решения

Задача 11.
Запишем числа от 1 до 10 в двоичной системе: 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1001, 1010. Поскольку в них не более четырёх двоичных разрядов, для взвешивания этих грузов можно обойтись четырьмя гирьками, массой 1г, 2г, 4г и 8 г. Но здесь мы не используем возможность класть гирьки на обе чаши весов. А в таком случае более экономной будет троичная форма записи, но с цифрами не 0, 1, 2, а с (-1), 0, 1:
1=1=001
2=3-1=01(-1)
3=3=010
4=3+1=011
5=9-3-1=1(-1)(-1)
6=9-3=1(-1)0
7=9-3+1=1(-1)1
8=9-1=10(-1)
9=9=100
10=9+1=101
Всего же с помощью гирек массой 1г, 3г и 9г можно взвесить грузы до 9+3+1=13г.
Ответ Б:3

Задача 12.
Первая идея: поскольку сумма цифр числа m равна 30, оно делится на 3, значит и (m+3) делится на 3, делиться должна и сумма его цифр. Однако этим свойством обладают все предложенные варианты. Копнём глубже: т.к. сумма цифр числа m равна 30, его остаток от деления на 9 равен остатку от деления на 9 числа 30, т.е. трём. Значит число (m+3), как и его сумма цифр, должно давать остаток 6 при делении на 9. Такой остаток дают все предложенные варианты, кроме В:21. Он-то и будет невозможным.
Ответ В:21

Задача 13.
Если в сумке шестеро кенгуру, то первый сказал правду, а все остальные своим утверждением: "Все, кто выпрыгнул передо мной, говорили неправду",– соврали. Если же в сумке сидело не 6 кенгуру, то соврал первый, второй сказал правду, а остальные (если они были), снова соврали. В любом случае, правду сказал только один.
Ответ Б:1

Задача 14.
Определим, за сколько прыжков можно максимально приблизиться к отметке 1000. За 142 прыжка можно продвинуться на 994 метра. Оставшиеся 6 метров можно преодолеть за 2 прыжка: оттолкнувшись последовательно левой и правой ногой. Кстати, если бы кенгуру умел прыгать и на 1 метр, то в 144 прыжка можно было уложиться и другим способом: 143 прыжка по 7 метром и затем на 1 метр назад.
Ответ Б:144

Задача 15.
Если бы честных в компании было несколько, то мы бы получили как минимум 2 одинаковых ответа (однако наличие одинаковых ответов не гарантирует того, что они принадлежат честным, ведь и вруны могли одинаково соврать). В нашем случае 5 врунов быть не может, поскольку тот, кто сказал “пять”, сказал бы правду. А вот 4 вруна – вполне возможно.
Ответ Г:4;

<Назад|Далее>