Задачи олимпиады Кенгуру, решения и ответы

Условия задач

Задача 27. Студент, 3й уровень, 2005 год
При каком наибольшем значении параметра a выполняется неравенство ?,
А:1; Б:2; В:3; Г:4; Д:5;

Задача 28. Юниор, 3й уровень, 2006 год
Из какого набора цифр, приведённых далее, состоит семизначное число, если оно делится на каждую из своих цифр и все его цифры различны?
А:0123467; Б:1246789; В:1235679; Г:2356789; Д:1236789;

Задача 29. Кадет, 3й уровень, 2004 год
Сколько номеров лет ХХ века можно представить в виде разности двух степеней двойки?
А:0; Б:1; В:2; Г:3; Д:4;

Задача 30. Школьник, 3й уровень, 2003 год
У Тани в коробке 9 карандашей. Как минимум один из них синего цвета. Среди каждых 4 карандашей как минимум два – одинакового цвета, а среди каждых пяти не более трёх одинакового цвета. Сколько синих карандашей у Тани в коробке?
А:1; Б:2; В:3; Г:4; Д: Невозможно определить;

Задача 31. Малыш, 3й уровень, 2002 год
На счётчике пробега моей машины сейчас показано число 187369 (км). В этом числе все цифры различны. Какое наименьшее количество километров нужно проехать, чтобы на счётчике опять появилось число, у которого все цифры различны?
А:1; Б:21; В:431; Г:12431; Д:13776;

Решения

Задача 27.
Понятно, что при x<0 неравенство выполняется при любых значениях параметра a. Для нуля равенство также будет иметь место всегда. А для положительных значений x используем тот факт, что . Тогда неравенство можно представить в виде , откуда . А т.к. сумма квадратов двух чисел не менее удвоенного их произведения, то a-2 не превосходит двух, отсюда наибольшее значение параметра a – 4.

Ответ Г: 4

Задача 28.
Первым делом отпадает вариант А, как содержащий цифру 0. Затем отбрасываем варианты В (1235679) и Г (2356789), содержащие одновременно двойку и пятёрку. Основание следующее: число должно одновременно делиться на 2 и на 5, следовательно, на 10, и заканчиваться нулём. А нуля среди этих наборов цифр нет, да и быть не может в наборе, удовлетворяющем условиям задачи.
Из оставшихся двух наборов сделать выбор поможет признак делимости на 9, который инвариантен расположению цифр. Сумма цифр в наборе Б на 9 не делится, хотя девятка в нём присутствует. Следовательно, искомый набор – Е (1236789). Поскольку задачи найти конкретно число, обладающее данным свойством, не ставилось, на этом можно было и успокоиться. Однако мне стало интересно и с помощью переборной программы я обнаружил, что таких чисел целых 105, начиная с 1289736 и заканчивая 9867312. А несколько подумав, можно и без перебора убедиться, что для восьмизначных чисел не существует аналогичных наборов цифр. Вообще, интересно было бы рассмотреть такую задачу в других системах счисления, вполне возможно, что это будет темой одной из статей.
Ответ Е: 1236789

Задача 29.
Пусть для некоторого числа x выполняется равенство , тогда . Следовательно,  и может принимать лишь k различных значений. Поскольку промежуток [1901; 2000] принадлежит промежутку [2048; 1024], то значение k=11. А промежутку [1901; 2000] будут принадлежать только две из одиннадцати разностей: 1984=2048-64 и 1920=2048-128.
Ответ В:2;

Задача 30.
Поскольку среди каждых пяти карандашей не более трёх одноцветных, то и во всём наборе количество карандашей одинакового цвета не превышает трёх. Следовательно, т.к. карандашей 9, то и количество цветов не менее трёх. Однако, если бы карандаши у Тани были, к примеру, четырёх цветов, то взяв по одному карандашу каждого цвета мы получили бы противоречие с первым условием. Следовательно, у Тани карандаши ровно по 3 карандаша трёх различных цветов, в том числе и синих.
Ответ В:3;

Задача 31.
Эта задача – хороший пример приёма перебора в тесте. Вместо того, чтобы непосредственно вычислять, какое расстояние нужно проехать, прежде чем вновь появится число из разных цифр, будет последовательно пытаться прибавлять к 187369 числа из вариантов ответа и смотреть, что получится.
187369+1=187370 – не подходит
187369+21=187390 – подошло!
Ответ Б:21;

<Назад|Далее>