Задачи олимпиады Кенгуру, решения и ответы

Условия задач

Задача 48. Студент, 3й уровень, 1997 год
Сколько целых решений имеет уравнение
x(x+1)+(x+1)(x+2)+…+(x+9)(x+10)=1000x+1997?

А:0; Б:1; В:2; Г:6; Д: бесконечно много;

Задача 49. Юниор, 3й уровень, 1998 год
Число X состоит из цифр 1, 2, 3, а число Y – из цифр 4, 5, 6. Мы знаем, что число X+Y чётное и что вторая цифра числа X равна двум. Какова последняя цифра числа X*Y?
А: нельзя однозначно установить; Б:2; В:6; Г:5; Д:4;

Задача 50. Кадет, 3й уровень, 1999 год
В тесте было 30 вопросов. Каждый правильный ответ увеличивает количество набранных баллов на 7, а каждая ошибка или отсутствие ответа уменьшает количество баллов на 12. Саша, выполнив тест, набрал 77 баллов. Сколько ошибок он сделал?
А: от 0 до 4; Б: от 5 до 8; В: от 9 до 12; Г: о 13 до 16; Д: невозможно определить;

Задача 51. Школьник, 3й уровень, 2000 год
Имеются 3 коробки и 3 предмета: монета, игрушечная черепаха и горошина. У каждой коробке есть только один предмет, причём:

• Зелёная коробка находится левее голубой;
• Монета находится левее горошины;
• Красная коробка стоит правее черепахи;
• Горошина правее красной коробки;

В какой коробке монета?
А: в красной; Б: в зелёной; В: в голубой; Г: невозможно определить однозначно; Д: условия задачи противоречивы;

Задача 52. Малыш, 3й уровень, 2001 год
В обувном магазине для животных на 10 полках было по 12 пар обуви. Первыми покупателями были пять многоножек. Первые три из них купили по 30 пар, а две следующие – по 5 пар каждая. Сколько пар обуви осталось в магазине после визита этих покупателей?
А:10; Б:15; В:20; Г:25; Д:30;

Решения:

Задача 48.
Слева имеем сумму девяти произведений соседних целых чисел. Из двух ярдом стоящих чисел одно всегда будет чётным, значит, каждое из слагаемых в левой части – чётное число. И вся левая часть уравнения будет чётной. Справа же стоит сумма чётного числа 1000х и нечётного числа 1997. Значит, если бы некоторое целое х было бы решением уравнения, то чётное число равнялось бы, нечётному, что невозможно. Выходит, целых корней у уравнения нет.
Ответ А:0;

Задача 49.
Поскольку двойка стоит внутри числа Х, то число Х оканчивается на 1 или на 3, т.е. оно нечётное. Если сумма Х и Y – чётное число, то число Y также нечётное. Значит, Y оканчивается на цифру 5. Следовательно, произведение чисел Х и Y будет нечётным делящимся на 5 числом, и также будет оканчиваться на 5.
Ответ Г:5;

Задача 50
Пусть он решил x задач. Тогда 30-x задач остались без правильного ответа. Общая сумма баллов составит 7x-12(30-x), что по условию равняется 77. Решаем уравнение:
7x-12(30-x)=77
19x=437
x=23

Значит 7 вопросов остались без правильного ответа. Однако мы не можем установить, были ли на них даны неверные ответы, или вообще никаких ответов не давалось. Некоторая некорректность условия, которое позволяло толковать отсутствие ответа на вопрос или как неправильный ответ, или как отдельное действие, была исправлена тем, что при проверке засчитывались два ответа:
Ответы Б: от 5 до 8 или Д: невозможно определить;

Задача 51
Первое, на что обращаем внимание – это тройка «черепаха – красная коробка – горошина». Её можно расположить лишь одним способом:

	Красная
Черепаха		Горошина

Единственное место для монеты – в красной коробке. Если бы среди вариантов ответ не было намёка на возможность противоречивости условия, на этом можно было бы остановиться. Однако нужно проверить, возможна ли вообще ситуация, описанная в условии.
То, что зелёная коробка находится левее голубой, указывает нам цвета коробок с черепахой и горошиной. А то, что монета находится левее горошины, совпадает с уже найденным нами расположением.

Зелёная	Красная	Голубая
Черепаха	Монета	Горошина

Ответ А: монета в красной коробке;

Задача 52.
Решим задачу по вопросам
Вопрос 1. Сколько пар обуви было в магазине сначала?
10x12=120 (пар)

Вопрос 2. Сколько пар обуви купили первые три многоножки?
3x30=90 (пар)

Вопрос 3. Сколько пар обуви купили первые три многоножки?
2x5=10 (пар)

Вопрос 4. Сколько пар обуви было куплено всего?
10+90=100 (пар)

Вопрос 5. Сколько пар обуви осталось в магазине?
120-100=20 (пар)
Ответ В:20;

<Назад|Далее>