Задачи олимпиады Кенгуру, решения и ответы

Условия задач

Задача 73. Студент, 3й уровень, 2004 год
Сколько положительных  целых чисел могут быть записаны как a₀+a₁3+a₂3²+a₃3³+a₄3⁴, если a₀, a₁, a₂, a₃, a₄ принадлежат множеству {-1, 0, 1}
А:5; Б:80; В:81; Г:121; Д: 243;

Задача 74. Юниор, 3й уровень, 2001 год
Сколькими способами можно полностью покрыть прямоугольник со сторонами 2x8 костяшками домино 1x2 без наложений?
А:16; Б:21; В:30; Г:32; Д:34;

Задача 75. Кадет, 3й уровень, 2003 год
По результатам контрольной работы, в классе средний балл мальчиков оказался равен 8,6, девочек – 9,8, а средний балл всех учеников в классе – 9,4. Какую часть класса составляют мальчики?
А: 1/4; Б: 1/3; В: 1/2; Г: 2/3; Д: невозможно определить;

Задача 76. Школьник, 3й уровень, 2003 год
Сколько точек пересечения точно не могут иметь 4 прямые?
А: 1; Б: 2; В: 3; Г: 4; Д: 5;

Задача 77. Малыш, 3й уровень, 2001 год
Маленький Мук и королевский скороход соревновались в беге на дорожке длиной 30 км, которая проходила вокруг большого луга. По условиям состязания, выиграет тот, кто обгонит другого, пробежав на один круг больше. Скороход пробегает круг за 10 минут, а Маленький Мук – за 6 минут. Оба стартуют одновременно из одного и того же места. Через сколько минут Маленький Мук победит?

А: 5; Б: 10; В: 15; Г: 20; Д: 25;

Решения:

Задача 73.
Здесь мы имеем дело с равновесной троичной системой счисления. Если бы коэффициенты при степенях тройки принимали значения 0, 1 или 2, то таким образом могли бы быть записаны числа от 0 до (22222)₃ = 242. А в равновесной троичной системе счисления пятью цифрами можно записать число от ((-1)(-1)(-1)(-1)(-1))₃ = -121 до (11111)₃ = 121. Из них положительных чисел будет 121.

Строго доказать, что с помощью n цифр равновесной троичной системы можно записать все числа в диапазоне от –(3ⁿ-1)/2 до (3ⁿ-1)/2 можно по индукции. Одной цифрой можно записать числа -1, 0, 1 – база индукции имеется. Пусть для k цифр верно, что мы получаем все числа от –(3^k - 1)/2 до (3^k - 1)/2.

Тогда, взяв k+1-ю цифру, равную нулю, мы получим те же числа. Взяв её равной единице, получим числа от 3^k – (3^k - 1)/2 до 3^k + (3^k - 1)/2, т.е. от (3^k - 1)/2 +1 до (3^k+1 - 1)/2. Аналогично, взяв взяв k+1-ю цифру, равную -1, получим все числа от –(3^k+1 - 1)/2 до (3^k - 1)/2 -1. Таким образом, с помощью k+1 цифры мы получим все числа от –(3^k+1 - 1)/2 до (3^k+1 - 1)/2, что и требовалось доказать.

Следовательно, утверждение верно и с помощью 5 цифр мы действительно получим все числа от -121 до 121.
Ответ Г: 121;

Задача 74.
У нас уже разбиралась задача о нахождении количества разбиений полоски 2хn на домино 1х2. Там доказывалось, что искомое количество равно n-му числу Фибоначчи, если начинать ряд с 1, 2. Следовательно, для восьми, число способов будет равняться: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
Ответ Д:34;

Задача 75
Пусть доля мальчиков в классе равна x, 0<x<1. Тогда доля девочек в классе (1-x). Верно равенство:

8,6x + 9,8(1-x) = 9,4.
8,6x + 9,8 - 9,8x = 9,4
0,4 = 1,2x
x = 1/3

Значит, мальчиков в классе – треть
Ответ Б: 1/3;

Задача 76
Легко можно расположить 4 прямые так, чтобы у них была одна или 4 точки пересечения. Если ещё немного подумать, находятся варианты для трёх и пяти точек пересечения. Поскольку мы имеем дело с тестом, теперь можно выбирать ответ Б: у четырёх прямых не может быть ровно две точки пересечения.

Ответ Б: 2;

Задача 77.
Сколько километров пробегает скороход за минуту?
30/10 = 3 (км)

Сколько километров пробегает Маленький Мук за минуту?
30/6 = 5 (км)

На сколько километров обгоняет Маленький Мук обгоняет скорохода каждую минуту?
5 – 3 = 2 (км).

Через сколько минут Маленький Мук обгонит скорохода на 30 км?

30/2 = 15 (мин)
Ответ В: 15;

<Назад|Далее>