Задачи олимпиады Кенгуру, решения и ответы

Условия задач

Задача 58. Студент, 3й уровень, 2005 год
Выбранное число удваивают и отнимают единицу. Повторяя эту процедуру 98 раз получили число 2^100+1. С какого числа начинали?

А:1; Б:2; В:4; Г:6; Д: другое число;

Задача 59. Юниор, 3й уровень, 2004 год
За столом сидят 5 мальчиков и 6 девочек, а на столе на тарелке лежат пирожки. Каждая девочка дала по одному пирожку каждому знакомому мальчику. Потом каждый мальчик дал с тарелки по одному пирожку каждой незнакомой девочке. После этого тарелка осталась пустой. Сколько было пирожков на тарелке вначале?
А:5; Б:11; В:25; Г:30; Д: нельзя установить;

Задача 60. Кадет, 3й уровень, 2001 год
Некоторые из 11 коробок содержат по 8 меньших коробок. Некоторые из меньших коробок содержат ещё но 8 коробок каждая. Если пустых коробок 102, то сколько коробок всего?
А: 102; Б: 64; В: 118; Г: 115; Д: невозможно определить;

Задача 61. Школьник, 3й уровень, 1997 год
Если К составляет 10% от L, L составляет 20% от M, M составляет 30% от N, P составляет 40% от N, то отношение К/Р равно:
А: 7; Б: 3/2; В: 2/300; Г: 3/200; Д: 1/250;

Задача 62. Малыш, 3й уровень, 2002 год
В соревнованиях по бегу участвовали 28 детей. Количество детей, которые прибежали позже Димы вдвое больше количества детей, которые прибежали раньше Димы. В таком случае Дима прибежал:

А: шестым; Б: седьмым; В: восьмым; Г: девятым; Д: десятым;

Решения:

Задача 58.
Пусть начальное число равно а. Тогда мы будем получать числа
2a-1
2(2a-1)-1=4a-3
2(4a-3)-1=8a-7
Можно заметить, что n-й результат выражается формулой 2^n(a-1)+1. Докажем это по индукции. Для n=1 формула верна, пусть она верная для n=k. Тогда для n=k+1:
2(2^k(a-1)+1)-1=2^k+1(a-1)+1
Сходится.

Теперь имеем:
2^98(a-1)+1=2^100+1
2^98(a-1)= 2^100
a-1=4
a=5
Значит, начинали с пятёрки.
Ответ Д: с другого числа;

Задача 59.
Начертим граф знакомств между мальчиками и девочками. Для этого нарисуем группы по 5 и 6 точек и соединим точи из разных групп красными линиями, если соответствующие люди знакомы и синими – если незнакомы.
Теперь видно, что количество пирожков, переданных девочками мальчикам, равно количеству красных рёбер, а количество пирожков, переданных мальчиками девочкам, равно количеству синих рёбер. Общее количество рёбер равно 5х6=30. Вот столько и было пирожков на тарелке.
Такой граф, кстати, называется двудольным.
Ответ Г:30;

Задача 60
Пусть из 11 коробок «верхнего уровня» х заполнены меньшим коробками. Тогда меньших коробок будет 8х. Пусть из них у коробок заполнены маленькими. Тогда маленьких коробок будет 8у. Всего коробок будет 11+8х+8у=11+8(х+у). Количество пустых коробок подсчитаем так: пустых больших коробок будет 11-х, пустых меньших коробок: 8х-у и все 8у маленьких коробок также будут пустыми. Всего пустых коробок 11-х+8х-у+8у=11+7(х+у)
Из уравнения 11+7(х+у)=102 найдём сумму x+y
7(х+у)=91
x+y=13

Тогда всего коробок будет 11+8(х+у)= 11+7(х+у)+(х+у)=102+13=115
Ответ Г: 115;

Задача 61
Отношение
Отношение
Искомое отношение находится как частное:

Ответ Г: 3/200;

Задача 62.
Остальных участников забега было 27. Если разделить 27 в отношении 1:2, получим 9 и 18. Значит, 9 участников финишировали раньше Димы. Выходит, он пришёл десятым.
Ответ Д: десятым;

<Назад|Далее>