Задачи олимпиады Кенгуру, решения и ответы

Условия задач

Задача 53. Студент, 3й уровень, 2002 год
Числами палиндромами называются такие числа, которые читаются одинаково слева направо и справа налево. Сколько существует пятизначных палиндромов, делящихся на 9?
А:81; Б:90; В:100; Г:500; Д:1000;

Задача 54. Юниор, 3й уровень, 2003 год
Каково наибольшее количество последовательных чисел, ни у одного из которых сумма цифр не делится на 5?
А:5; Б:6; В:7; Г:8; Д:9;

Задача 55. Кадет, 3й уровень, 2004 год
Число 2004 делится на 12, а сумма его цифр равна 6. Сколько четырёхзначных чисел имеют те же свойства?
А:10; Б:12; В:13; Г:15; Д:18;

Задача 56. Школьник, 3й уровень, 2005 год
9 пирожных стоят меньше, чем 10 гривен, а 10 таких же пирожных стоят больше, чем 11 гривен. Сколько стоит одно пирожное?
А: 1,09 грн.; Б: 1,11 грн.; В: 1,12 грн.; Г: 1,15 грн.; Д: невозможно определить;

Задача 57. Малыш, 3й уровень, 2006 год
Между числами 2002 ? 2003 ? 2004 ? 2005 ? 2006 вместо каждого знака вопроса можно записать знак + или -. Какое из чисел не может получиться?
А:1988; Б:2001; В:2002; Г:2004; Д:2006;

Решения:

Задача 53.
Первую цифру числа мы можем выбрать 9-ю способами (она может быть любой от 1 до 9). Последняя цифра определяется однозначно. Вторую цифру можно выбрать 10-ю способами (она может быть любой от 0 до 9), а предпоследняя определяется однозначно.

Сумма первой, второй, последней и предпоследней цифр числа может давать остаток от 0 до 8 при делении на 9. Если данный остаток не равен нулю, то средняя цифра определится однозначно как разность между девятью и текущим остатком. А если же остаток равен нулю, то средняя цифра может быть или нулём, или девяткой.

Поскольку числа 2 и 9 взаимно просты, то сумма двух первых и двух последних цифр палиндрома будет делиться на 9 тогда и только тогда, когда двузначное число, образованное первыми двумя его цифрами делится на 9. И не будет делиться – в обратном случае.

Всего двузначных чисел – девяносто. Из них на 9 делятся 9 чисел: 18, 27, …, 90. Значит искомое число пятизначных палиндромов, делящихся на 9 можно вычислить как 9х2+81=100.

Заметим, что этот ответ можно в тесте получить и намного быстрее. Мы видим, что искомое число несколько больше количества способов выбрать первые и последние 2 цифры числа, равного 9х10=90. А серди вариантов ответа число 100 достаточно близко к 90, в то же время как остальные варианты: 500 и 1000 уже отстоят от него довольно далеко. Так что можно отвечать 100 и экономить время для других заданий.
Ответ В:100;

Задача 54.
Обозначим сумму цифр числа n как S(n). Если n оканчивается не на девятку, то S(n+1)= S(n)+1. так что если в последовательности не будет «перехода через девятку», максимальная её длина равна 4. Максимальная длина последовательности с «переходом через девятку» будет, если сумма цифр первого после перехода числа будет равна 1. Такое будет возможно, к примеру, для чисел 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Может ли быть 9 таких последовательных чисел? Нет. Ведь среди девяти последовательных чисел может быть только один переход через девятку, значит, или до, или после перехода будет идти 5 последовательных чисел. А среди них непременно найдётся число с суммой цифр, делящейся на 5.
Ответ Г:8;

Задача 55
Если сумма цифр числа равна 6, оно автоматически будет делиться на 3. Чтобы оно делилось, к тому же, на 4, двуциферное окончание его должно делиться на 4. Поскольку сумма цифр в двуциферном окончании должна быть меньше 6, то имеем следующие варианты: 00, 20, 40, 12, 32, 04. Разберём, сколько будет способов получения суммы первых двух цифр, дополняющей до 6 суму цифр двуциферных окончаний.

00: нужно первыми двумя цифрами получить сумму 6. Всего 6 вариантов: 60, 51, 42, 33, 24, 15.
20: первыми двумя цифрами нужно получить сумму 4: всего 4 варианта. 40, 31, 22, 24.
40: сумма первых двух цифр должна быть 2. Имеем 2 варианта.
12: сумма первых двух цифр должна быть 3. Имеем 3 варианта.
32: для первых двух цифр остаётся единственный вариант;
04: для первых двух цифр есть 2 варианта.

Итого 6+4+2+3+1+2=18 вариантов
Ответ Д:18;

Задача 56
Собственно, имея перед глазами варианты ответов, ответ можно найти простым перебором. Но здесь мы разберём общий метод решения подобных задач. Цена пирожного измеряется дискретной величиной: гривнами и копейками. Обозначим её через натуральное х число копеек. Имеем:

Единственное натуральное число, входящее в этот промежуток – число 111. Поскольку это число копеек, то в гривнах цена составит 1,11.
Ответ Б: 1,11;

Задача 57.
Поскольку в полученном выражении будет два нечётных числа, независимо от расстановки знаков, его значение будет чётным. Значит, не может получиться число 2001.
Ответ Б:2001;

<Назад|Далее>