Задачи олимпиады Кенгуру, решения и ответы

Условия задач

Задача 89. Выпускник, 3й уровень, 2009 год
Найдите, при каких значениях острого угла a уравнение
(2cosa -1)x² - 4x + 4cosa + 2 = 0
будет иметь два действительных положительных корня?
А:0^o < a < 30^o; Б: 0^o < a < 60^0; В: 30^o < a < 60^0; Г: 30^o < a < 90^0; Д: 0^o < a < 90^o;

Задача 90. Юниор, 3й уровень, 2009 год
Последовательность целых чисел задаётся рекуррентно: a₀=1, a₂=2, a_n+2=a_n+(a_n+1)². Чему равен остаток от деления a₂₀₀₉ на 7?
А: 0; Б: 1; В: 2; Г: 5; Д: 6;

Задача 91. Кадет, 3й уровень, 2008 год
Решением уравнения (x+2²⁰⁰⁷)² – (x–2²⁰⁰⁷)² = 2²⁰⁰⁸ является:
А: 0,5; Б: 2; В: 2²; Г: 2²⁰⁰⁸; Д: 0;

Задача 92. Школьник, 3й уровень, 2009 год
Комплект домино состоит из 28 костяшек, которые образованы всеми возможными комбинациями количеств точек от 0 до 6 включительно. Сколько всего точек в наборе домино?
А: 84; Б: 105; В: 126; Г: 147; Д: 168;

Задача 93. Малыш-3,4 классы, 3й уровень, 2009 год
Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра справа больше цифры слева?
А: 9; Б: 18; В: 26; Г: 30; Д: 36;

Задача 94. Малыш-2 класс, 3й уровень, 2009 год
Секретный агент хочет расшифровать код из шести цифр. Он знает, что сумма цифр на первом, третьем и пятом местах равна сумме цифр на втором, четвёртом и шестом местах. Какой из предложенных вариантов не может быть кодом?

А: 81**61;
Б: 7*727*;
В: 4*4141;
Г: 12*9*8;
Д: 181*2*;

Решения:

Задача 89.
Раз корни этого уравнения положительны, положительной будет и их сумма, которая по теореме Виета равняется:

Это исключает ответы Г и Д.

Дискриминант должен быть положительным, значит
D=16-8(2 cosa-1)(2 cosa+1)=16-8(4 cos² a-1)=24-32 cos² a >0

Отсюда

Отбрасываем ответы А и Б, оставляя единственный вариант.
Ответ В: 30^o < a < 60^o;

Задача 90.
Сначала найдём a₁ из уравнения: 2=1+ (a₁)², откуда a₁=1 или a₁=-1.
Для каждого варианта далее будем вместо самих a_n вычислять остатки от деления a_n на 7.
При a₁=1 получим последовательность:
1, 1, 2, 5, 6, 6, 0, 6, 1, 0, 1, 1, ...
Поскольку десятый и одиннадцатый члены равны единице и каждый член последовательности однозначно определяется двумя предыдущими, то далее последовательность зациклится циклом (1,1,2,5,6,6,0,6,1,0). Период цикла равен 10. Значит a₂₀₀₉ будет давать такой же остаток при делении на 7, как и a₉, а именно 0.
При a₁=-1 последовательность остатков будет такой же, если бы a₁ равнялось 6:
1, 6, 2, 3, 4, 5, 1, 6,
Здесь длина периода равна 6, и т.к. 2009 даёт остаток 5 при делении на 6, то a₂₀₀₉=a₅=5
Ответ А: 0 или Г: 5;

Задача 91
Раскроем скобки:
(x+2²⁰⁰⁷)² – (x–2²⁰⁰⁷)² = 2²⁰⁰⁸
x²+2²⁰⁰⁸x+2⁴⁰¹⁴ - x²+2²⁰⁰⁸x-2⁴⁰¹⁴ = 2²⁰⁰⁸
2²⁰⁰⁹x = 2²⁰⁰⁸
x=0,5
Ответ А: 0,5;

Задача 92
Сначала у меня здесь получился ответ 105, о чём и написал на сайте. Однако на math.hashcode.ru совершенно справедливо заметили, что такой ответ неверен. Действительно, возьмём любую цифру, например, 6. Она в наборе встречается ровно 8 раз: в паре с 0, 1, 2, 3, 4 и 5, а также дважды - на дубле. Поэтому общее количество очков на наборе домино будет равно 8(0+1+2+3+4+5+6) = 168. Каждая половинка костяшки здесь учитывается ровно один раз, так что делить дополнительно ни на что не надо.
Ответ Д: 168;

Задача 93.
Среди чисел, которые начинаются на 1, таких чисел будет 8: от 12 до 19. среди начинающихся на 2 их будет 7: от 23 до 29. И т.д., для начинающихся на 8 будет всего одно число – 89, а для следующего десятка таких не будет сосем. Ответом будет сумма 8+7+6+5+4+3+2+1=4х9=36
Ответ Д: 36;

Задача 94.
Рассмотрим для каждого из вариантов, может ли выполниться условие:
А: 81**61;
8+*+6=1+*+1
14+*=2+*
12+*=*
На местах звёздочек должны стоять цифры, различающиеся на 12, что невозможно.

Б: 7*727*;
7+7+7=*+2+*
19=*+*
Две цифры не могут дать в сумме 19

В: 4*4141;
4+4+4=*+1+1
10=*
Невозможно

Г: 12*9*8;
1+*+*=2+9+8
*+*=18
А вот это возможно, т.к. 9+9=18 и кодом будет последовательность 129998

Д: 181*2*;
1+1+2=8+*+*
Здесь правая часть уже явно больше левой.

Так что единственный вариант ответа, который может быть кодом - это 12*9*8;

Ответ Г: 12*9*8;

<Назад|Далее>