Задачи олимпиады Кенгуру, решения и ответы

Условия задач

Задача 68. Студент, 3й уровень, 2006 год
Тест состоит из 10 вопросов, на каждый из которых нужно выбрать вариант ответа а) или б). Если на любые 5 вопросов ответить вариантом а), а на остальные пять –  вариантом б), то обязательно как минимум 4 ответа окажутся верными. Сколько существуем вариантов расположения правильных ответов в тесте, которые обеспечивают такое его свойство?

А:2; Б:10; В:22; Г:252; Д: 5^5;

Задача 69. Юниор, 3й уровень, 2001 год
В коробке была 31 конфета. В первый день Кристина съела 3/4 от количества конфет, которые съел Петя в тот же день. На второй день Кристина съела 2/3 количества конфет, которые съел Петя в тот же день. После двух дней коробка осталась пустой. Сколько конфет из коробки съела Кристина?
А:9; Б:10; В:12; Г:13; Д:15;

Задача 70. Кадет, 3й уровень, 2005 год
Карл говорит правду в тот день, когда он не обманывает. Какое из следующих утверждений Карл не мог высказать в один день вместе с остальными?
А: Число моих друзей - простое;
Б: У меня столько же друзей среди мальчиков, сколько и среди девочек;
В: 288 делится на 12;
Г: Я всегда говорю правду;
Д: Три моих друга старше меня;

Задача 71. Школьник, 3й уровень, 1999 год
Какое наибольшее количество тупых углов могут образовать 6 лучей с общим началом?
А: 6; Б: 8; В: 9; Г: 12; Д: 15;

Задача 72. Малыш, 3й уровень, 2002 год
В каждом подъезде на каждом этаже 16-этажного дома есть по 4 квартиры. В каком подъезде и на каком этаже находится квартира №165?

А: 3 подъезд 9 этаж; Б: 3 подъезд 10 этаж; В: 3 подъезд 12 этаж; Г: 2 подъезд 13 этаж; Д: 3 подъезд 7 этаж;

Решения:

Задача 68.
Если все правильные ответы будут а), то, отвечая указанным в условии образом, мы будем иметь 5 гарантированных правильных ответов. Рассмотрим теперь случай, если будет 9 правильных ответов а) и один правильный ответ – б). Тогда в наихудшем случае все наши ответы б) попадут на вопросы с ответом а), а из ответов а) один попадёт на вопрос с правильным ответом б), а остальные 4 – на вопросы с правильным ответом а). Так что 4 гарантированных правильных ответов будет. Рассуждая далее аналогичным образом, получим, что в случае с двумя правильными ответами б) и восемью – а), можно получить только 3 гарантированных верных ответа. Так что возможных распределений правильных ответов в тесте, при котором описанный в условии трюк сработает, всего 4: все ответы а), 9 а) и 1 б), а также, из соображений симметрии, 1 ответ а) и 9 ответов б) и все ответы б).

Количество возможных вариантов расположения правильных ответов в первом и четвёртом случаях будет по одному, а во втором и третьем случаях – по 10. Итого 22 возможности.
Ответ В: 22;

Задача 69
Из условия задачи следует, что количество конфет, съеденных в первый день, делится на 7, а во второй – на 5. Представить число 31 в виде суммы натуральных чисел, одно из которых делится на 7, а другое – на 5, можно единственным способом: 31=21+10. Разбив первое слагаемое в отношении 4:3, а второе – 3:2, получим 31=(12+9)+(6+4). Значит, Кристина съела 9+4=13 конфет.
Ответ Г:13;

Задача 70
Поскольку 288 на самом деле делится на 12, то утверждение В – истинное. Из утверждений А, Б и Д следует, что число его друзей простое, чётное и не меньше трёх. Очевидно, что никакое число не может удовлетворять этим условиям, так что как минимум одно утверждение из этой тройки – ложно. Следовательно, ложно и утверждение Г о том, что он всегда говорит правду. Поскольку по условию задачи, или среди 4 истинных утверждений будет одно ложное, или среди 4 ложных будет одно истинное, то но может быть сказано в один день с остальными истинное утверждение о делимости.
Ответ В: 288 делится на 12;

Задача 71
Всего 6 лучей сформируют 15 углов. Все 15 тупыми быть не могут, потому что в таком случае мы не сможем уложиться в 360^o. А вот 12 – вполне:

Ответ Г: 12;

Задача 72.
В одном подъезде 64 квартиры. Т.к. 165=2*64+9*4+1, то квартира 165 будет в (2+1=3) третьем подъезде на (9+1=10) десятом этаже.
Ответ Б: 3 подъезд 10 этаж;

<Назад|Далее>