Третья открытая интернет-олимпиада по математике

================

Оценка за решение задачи ММ127 учитывается дважды в основном Марафоне и в тематическом конкурсе.

ММ127 (КГ-9) (12 баллов)

Существуют ли однотипные, но не изополярные многоугольники?

================

Решение

Каждый полюс первого порядка уменьшает количество количество элементарных многоугольников на 1, а суммарное количество сторон элементарных многоугольников на 6. Полюс второго порядка уничтожает 3 элементарных многоугольника и 16 сторон. Поэтому, если порядок полюсов многоугольников с различными характеристическими векторами не выше 2, они не не могут быть однотипны. В самом деле, если у таких многоугольников поровну элементарных многоугольников, то тот из них, у которого больше полюсов второго порядка будет иметь большее суммарное число сторон элементарных многоугольников.
Полюс третьего порядка уничтожает 6 элементарных многоугольников и 30 сторон. Легко видеть, что n-угольники c характеристическими векторами (3, 0, 1) и (0, 3, 0) имеют поровну элементарных многоугольников (на 9 меньше, чем у соответствующего ординарного n-угольника), а также равное суммарное число сторон (на 48 меньше, чем у ординарного). Поэтому такие n-угольники могут (но, разумеется, не обязаны) быть однотипными.
Наименьшее n, при котором существуют многоугольники с приведенными выше характеристическими векторами, равно 10. Мне удалось получить довольно много пар однотипных, но не изополярных десятиугольников с указанными характеристическими векторами. Я стартовал восьмиугольника с характеристическим вектором (3, 1) и с девятиугольника с характеристическим вектором (0, 3). К первому я добавлял пару вершин так, чтобы соединяющая их диагональ проходила через полюс второго порядка (превращая его в полюс третьего порядка), а ко второму - одну вершину так, чтобы не возникало новых полюсов. Однотипности удавалось добиться, используя значительную свободу в выборе добавляемых вершин.
На рисунках 1 и 2 приведена одна из пар однотипных, но не изополярных десятиугольников.



Каждый из десятиугольников разбивается своими диагоналями на 120 треугольников, 80 четырехугольников, 31 пятиугольник, 5 шестиугольников и один семиугольник. Конечно, разглядеть все элементарные многоугольники затруднительно из-за недостаточного масштаба рисунков. Поэтому приведу координаты вершин десятиугольников:
десятиугольник на рисунке 1: A(80; -80), B(102; -51), C(120; 0), D(80; 80), E(0; 100), F(-80; 80), G(-100; 50), H(-100; 0), I(-1200/17; -1200/17), J(0; -100);
десятиугольник на рисунке 2: A(90; -90), B(120; 0), C(120; 60), D(72; 97), E(48; 96), F(-2750/241; 18350/241), G(-1200/23; 1200/23), H(-100; 0), I(-2400/31; -1200/31), J(-40; -80). Обсуждение

Другие пары, построенных мной однотипных, но не изополярных многоугольников имеют векторы граней (122, 75, 34, 6, 0, 0, 0), (120, 81, 28, 8, 0, 0, 0), (118, 84, 28, 7, 0, 0, 0).
Анатолий Казмерчук построил пару десятиугольников с такими же, как в моих примерах, характеристическими векторами и общим вектором граней (118, 82, 32, 5, 0, 0, 0).

Интересный подход к решению задачи придумал Сергей Половинкин. Ему удалось доказать (на мой взгляд, почти строго) существование однотипных, но не изополярных многоугольников, не приводя конкретных примеров.
Основная идея - малым шевелением одной вершины (или двух вершин) преобразовать многоугольник в однотипный, но не изополярный. Предложенный метод требует наличия у исходного многоугольника не менее 20 вершин.

Алексей Волошин поставил вопрос о существовании однотипных (но не изополярных) многоугольников с разным числом вершин.
Полагаю, что таковых нет. Конечно, можно добиться, чтобы многоугольник с бОльшим числом сторон разбивался диагоналями на такое же число частей, на которое разбивается многоугольник с меньшим числом сторон. Но для этого в первом многоугольнике должно быть много полюсов, а это резко уменьшит среднее число сторон элементарных многоугольников. Впрочем, аккуратно я не считал.

Награды

За решение задачи ММ127 Анатолий Казмерчук получает 12 призовых баллов, Сергей Половинкин - 11 призовых баллов. За ряд правильных соображений и оценок Алексей Волошин получает 4 призовых балла. Дмитрий Пашуткин получает 2 призовых балла (по одному за ошибочное решение и своевременное обнаружение собственной ошибки :) ).

Эстетическая оценка задачи 5 баллов

================

Разбор задачи ММ127 подготовлен Владимиром Лецко.