- IV Интернет-олимпиада по математике/XIV тур Математического Марафона (12)→
- XV тур математического марафона: 12↓
- Вторая открытая Интернет-олимпиада по математике (9)→
- Третья Интернет-олимпиада по математике/XIII тур Математического Марафона (12)→
- Задачи конкурса Ponder This компании IBM (7)→
- Задачи областной олимпиады по математике 2010 (5)→
- Первая открытая Интернет-олимпиада по математике (9)→
- Задачи областной олимпиады по математике 2009 (5)→
- Как доказывать олимпиадные неравенства
- Задачи международного турнира
- XXI тур Математического Марафона
- Отбор на XVI Всеукраинский турнир - Часть 2
- Отбор на XVI Всеукраинский турнир - Часть 1
- Далеко, далеко, на лугу пасутся ко...
- Людоед и гномики
- Поиск фальшивой монеты
- Два парома
- Как вычислять бесконечные суммы: часть 1
- Вариации на тему игры Баше
- Мотоциклист, велосипедист и пешеход
- Утроение числа после перестановки цифр
- Как вычислять бесконечные суммы: часть 2
- Задача о поиске радиоактивных шаров
- Нестандартное решение задачи по теории вероятности
- Математические маневры
- Задача о двух мудрецах
- Ранжирование грузов по весу
======= 149 ========
ММ149 (8 баллов)
При каком наименьшем
в группе перестановок
существует подгруппа порядка 253? Привести пример такой подгруппы.
====================
Решение
Приведу решение Андрея Халявина, замечательное своей краткостью.
. Поэтому по теореме Силова в подгруппе должен быть элемент порядка 23. Значит,
.
Пусть
- первообразный корень по модулю 23. Тогда подгруппа группы
, состоящая из перестановок
, имеет порядок 253.
Ответ:
Обсуждение
Приведу более лобовой (если хотите, более тупой) способ построения требуемой подгруппы группы
.
Возьмем цикл
и будем строить перестановку
такую, что
.
Заметим, что
.
Пусть
. Тогда при
имеем:
. Значит,
и
.
Тогда
. Значит,
и
.
Тогда
. Значит,
и
.
Тогда
. Значит,
и
.
Продолжая в том же духе, получим
.
Непосредственно проверяется, что подгруппа, порожденная
и
, имеет порядок 253.
Пусть
- простые числа. С помощью теоремы Силова легко доказывается, что, если
не сравнимо с 1 по модулю
, то группа порядка
циклическая. Такая группа может быть реализована перестановками множества, состоящего не менее, чем из
элементов.
Если же
сравнимо с 1 по модулю
, то обязательно найдется группа порядка
, реализуемая перестановками из
. Подробности можно найти, например, в книжке М.Каргаполов, Ю.Мерзляков. "Основы теории групп"
Награды
За правильное решение и обобщение задачи ММ149 Алексей Волошин получает 9 призовых баллов. Анатолий Казмерчук, Виктор Филимоненков, Sirion и Андрей Халявин получают по 8 призовых баллов. Сергей Половинкин и Дмитрий Пашуткин (нашедшие нужные подгруппы лишь в
) получают по 2 призовых балла.
Эстетическая оценка - 5 баллов
Разбор задачи ММ149 подготовил Владимир Лецко
-- 23 окт 2011, 11:41 --
=================================
ММ149 (8 баллов)
При каком наименьшем


====================
Решение
Приведу решение Андрея Халявина, замечательное своей краткостью.


Пусть



Ответ:

Приведу более лобовой (если хотите, более тупой) способ построения требуемой подгруппы группы

Возьмем цикл




Пусть





Тогда



Тогда



Тогда



Продолжая в том же духе, получим

Непосредственно проверяется, что подгруппа, порожденная


Пусть





Если же




Награды
За правильное решение и обобщение задачи ММ149 Алексей Волошин получает 9 призовых баллов. Анатолий Казмерчук, Виктор Филимоненков, Sirion и Андрей Халявин получают по 8 призовых баллов. Сергей Половинкин и Дмитрий Пашуткин (нашедшие нужные подгруппы лишь в

Эстетическая оценка - 5 баллов
Разбор задачи ММ149 подготовил Владимир Лецко
-- 23 окт 2011, 11:41 --
=================================
Задайте вопрос на блоге о математике