Решения примеров задач ЗНО (Независимого внешнего тестирования) по математике 2010 года. Задания 26-28

Задание 26. Многочлены. Формулы сокращённого умножения.
Установите соответствие между заданными выражениями (1-4) и выражениями, которые им тождественно равны (А-Д)

1. (2a+b)²
2. (2a-b)(b+2a)
3. (a-2b)²
4. (a+2b)(2a-b)

А. 4a²-b²
Б. 4b²-2ab+a²
В. 2a²+3ab-2b²
Г. 4a²+4ab+b²
Д. 4b²-4ab+a²

Решение
Знание формул сокращённого умножения значительно ускорит решение этого задания.

Выражение 1 раскладывается по формуле квадрата суммы: (2a+b)²=4a²+4ab+b².
Выражение 2 – это произведение разности и суммы двух чисел и является разностью их квадратов: (2a-b)(b+2a)=4a²-b²
Выражение 3 раскладывается как квадрат разности: (a-2b)²=4b²-4ab+a². (Обратите внимание, что составители заданий специально решили нас запутать и написали слагаемые в правильном варианте в обратном порядке).
Выражение 4 – единственное из вариантов, которое нужно просто перемножить и привести подобные: (a+2b)(2a-b)=2a²+3ab-2b² (Кстати, здесь правильный ответ можно получить и без полного перемножения. Достаточно определить, что коэффициент при a² равен двум.)

Ответ: 1-Г, 2-А, 3-Д, 4-В

Задание 27. Преобразования графиков функций.
Установите соответствие между заданными геометрическими преобразованиями графика функции y=cosx (1-4) и функциями, полученными в результате преобразований (А-Д)

1. График функции y=cosx параллельно перенесли вдоль оси Ox на две единицы влево
2. График функции y=cosx параллельно перенесли вдоль оси Oy на две единицы вниз
3. График функции y=cosx сжали к оси Ox в два раза
4. График функции y=cosx сжали к оси Oy в два раза

А. y=cos(2x)
Б. y=0,5cosx
В. y=cos(x-2)
Г. y=cos(x+2)
Д. y=cosx-2

Решение
Здесь нужно знать, как влияют на функцию геометрические преобразования графика.
1.Перенос вдоль оси Ox влево эквивалентен прибавлению величины сдвига к аргументу функции. Мы получим график y=cos(x+2)
2. Перенос вдоль оси Oy вниз эквивалентен вычитанию величины сдвига от самой функции. Мы получим график y=cosx-2
3. Сжатие к оси Ox – это умножение функции на коэффициент, меньший единицы. Мы получим график y=0,5cosx
4. Сжатие к оси Oy – это умножение аргумента функции на коэффициент, больший единицы. Мы получим график y=cos(2x)

Ответ: 1-Г, 2-Д, 3-Б, 4-А

Задание 27. Стереометрия. Куб. Углы в пространстве

На рисунке изображён куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Установите соответствие между заданными углами (1-4) и их градусными мерами (А-Д)

1. Угол между прямыми AA₁ и DC₁
2. Угол между прямыми BD и A₁C₁
3. Угол между прямыми AB₁ и A₁D
4. Угол между прямыми BB₁ и DD₁

А. 0^o
Б. 30^o
В. 45^o
Г. 60^o
Д. 90^o

Решение
В этом задании придётся находить углы между скрещивающимися прямыми. Для его нахождения достаточно одну из прямых прямые перенести параллельно до пересечения с другой. Таким образом, получаем:
1. Угол между прямыми AA₁ и DC₁: переносим AA₁ вдоль AD. При сдвиге вдоль него AA₁ переходит в DD₁ и искомый угол равен 45^o
2. Угол между прямыми BD и A₁C₁: переносим A₁C₁ вдоль AA₁. При сдвиге вдоль него A₁C₁ переходит в AC и искомый угол равен 90^o
3. Угол между прямыми AB₁ и A₁D: переносим AB₁ вдоль AD (см. рис). AB₁ переходит в DC₁. Если провести ещё и диагональ верхней грани, A₁C₁, мы получим равносторонний треугольник, значит искомый угол равен 60^o
4. Угол между прямыми BB₁ и DD₁: эти прямые параллельны и искомый угол равен 0^o

Ответ 1-В, 2-Д, 3-Г, 4-А.

<Назад | Далее>